수성동 대구중앙고등학교 수학과외
정수해의 개수에서 경계값을 거꾸로 추적한 풀이
수성동에서 진행한 한 수학 과외 시간에 학생은 연립부등식의 해를 직접 나열하는 데에는 익숙했지만, 정수해의 개수만 주어진 문제에서는 마지막 후보를 확정하는 과정이 흔들렸다. 특히 경계값이 포함되는지에 따라 해의 개수가 달라지는 문항에서 선택지를 빠르게 좁힌 뒤 결론을 서둘렀다.
후보를 찾고도 반례를 놓친 장면
학생은 두 부등식의 경계가 되는 값을 각각 대입해 보며 가능한 정수의 범위를 비교했다. 예를 들어 어떤 조건에서 정수해가 2≤x≤5라면 해의 개수가 4개라는 점을 이용해 후보를 줄였다. 그러나 한 선택지가 실제로 모든 조건을 만족하는지 확인하지 않고, 개수만 맞는다는 이유로 정답이라고 판단했다.
검토 과정에서 특정 후보를 대입하자 한 부등식은 만족하지만 다른 부등식을 만족하지 않는 값이 발견됐다. 학생은 이 반례 하나를 확인하지 않아 허용되지 않는 값을 해의 범위에 포함하고 있었다.
정수해의 개수는 단순히 경계 사이의 정수 개수를 세는 것이 아니라, 두 부등식을 동시에 만족하는 값만 세어 결정한다.
제외된 값이 왜 해가 아닌지 확인하기
교정할 때는 틀린 선택지를 지우는 데 그치지 않고, 그 선택지의 값이 어느 조건에서 탈락하는지 직접 표시했다. 경계값을 포함하는 부등식인지 확인한 뒤, 후보를 하나씩 대입하여 두 조건 중 하나라도 어긋나면 정수해에서 제외했다. 이후 남은 값들을 다시 세어 문제에서 제시한 개수와 일치하는지 확인했다.
표현이 바뀐 연립부등식에서 다시 세운 관계
다음에는 앞서 보았던 식을 복사하지 않고, 한 조건은 유지하면서 다른 부등식의 방향과 수치를 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 각 부등식이 허용하는 범위를 따로 정리한 뒤 교집합을 구하고, 경계값을 포함할지 판정하여 정수해를 구성했다.
마지막에는 해의 개수에서 출발해 역순으로 설명했다. “이 개수가 나오려면 공통 범위에 어떤 정수들이 있어야 하는가, 그중 양쪽 부등식을 모두 만족하지 않는 값은 없는가”를 거꾸로 점검하면서 후보를 확정했다. 이 과정에서 선택지에 의존하지 않고 조건만으로 답을 구성할 수 있는지 확인했다.