복현동 영진고등학교 수학과외
나눗셈을 멈춘 뒤 무엇을 확인해야 했을까
영진고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 다항식 나눗셈에서 몫과 나머지를 차례로 구한 뒤, 요구되는 값을 네모로 표시했다. 계산을 이어 가는 것 자체에는 큰 어려움이 없었지만, 현재 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작아진 순간에는 다음 단계로 넘어가도 되는지 판단하지 못했다.
낮은 차수의 나머지가 나온 뒤 생긴 혼란
예를 들어 x³+2x²-x+1을 x²-1로 나누면 몫은 x+2, 나머지는 3이다. 이때 나머지의 차수는 0이고 나누는 식의 차수는 2이므로 더 이상 같은 방식으로 나눌 수 없다. 학생은 이 차수 조건까지 계산했지만, 나머지가 정말 마지막 결과인지, 또는 별도의 조건을 확인해야 하는지 스스로 정하지 못했다.
훈련에서는 기존처럼 계산 과정을 되짚는 방법을 잠시 사용하지 않고, 곱셈을 이용한 검산 경로를 택했다. 나누어지는 식 = 나누는 식 × 몫 + 나머지에 대입해 식이 원래 다항식으로 돌아오는지 확인한 다음, 마지막 나머지의 차수가 나누는 식보다 낮은지도 따로 점검했다. 위 식에서는 (x²-1)(x+2)+3=x³+2x²-x+1이고, 동시에 0<2이므로 종료 조건과 등식이 모두 맞는다.
선택지 없이 종료 순서를 정한 새 문항
이후에는 정답 후보를 제시하지 않은 새 다항식 나눗셈을 풀게 했다. 학생은 먼저 나눗셈을 진행하고, 현재 나머지의 차수와 나누는 식의 차수를 비교한 뒤, 곱셈을 통한 등식 검산을 마지막에 배치했다. 이전과 달리 낮은 차수의 나머지가 나온 시점을 스스로 종료 지점으로 정하고, 그 결과가 성립하는 조건까지 확인해 답을 완성했다.
마지막에는 완성된 식을 역으로 점검하면서 오류가 처음 생긴 줄을 찾게 했다. 학생은 계산 중간의 몫이 아니라, 나머지의 차수가 이미 낮아진 뒤에도 불필요하게 나눗셈을 계속하려 했던 판단이 문제의 시작이었다고 특정했다. 나머지가 0이 아니어도 그 차수가 나누는 식보다 낮으면 나눗셈을 끝낸다는 기준을 독립적으로 적용한 것이다.