봉무동 영신고등학교 수학과외
전개보다 먼저 두 근의 위치를 읽어 낸 풀이
봉무동에서 영신고등학교 수학 문제를 함께 살펴보던 중, 학생은 식을 전부 전개하려다 계산량이 지나치게 커지는 문항을 만났다. 문제의 핵심은 두 근 사이에서 함수값의 부호가 어떻게 달라지는지 판단하는 것이었기 때문에, 먼저 식을 인수분해된 구조로 볼 필요가 있었다.
학생은 긴 전개를 멈추고 식을 f(x)=a(x-r_1)(x-r_2), r_1<r_2와 같은 형태로 정리했다. 두 근 바깥에서는 두 인수의 부호가 같고, 두 근 사이에서는 부호가 서로 다르므로 곱의 부호는 -a가 된다. 따라서 이차항의 계수가 양수이면 두 근 사이에서 함수값은 음수이고, 계수가 음수이면 양수가 된다.
두 근 사이에서는 두 인수의 부호가 서로 반대이므로, 함수값의 부호는 이차항 계수의 부호와 반대가 된다.
맞는 후보를 찾고도 반례를 놓친 선택지
학생은 선택지 중 이 원리에 맞는 식을 골라냈지만, 후보가 실제 모든 조건을 만족하는지 확인하지 않은 채 정답으로 확정했다. 특히 근의 위치만 비슷한 식을 보고 판단했으며, 계수의 부호가 바뀌었을 때 두 근 사이의 함수값 부호도 함께 바뀐다는 점을 검산하지 않았다.
교정할 때는 후보의 조건을 하나씩 확인한 뒤, 같은 두 근을 갖지만 전체 식에 음수를 곱한 반례를 만들어 보았다. 예를 들어 (x-1)(x-3)은 1<x<3에서 음수이지만, -(x-1)(x-3)은 같은 구간에서 양수이다. 이 비교를 통해 근의 위치만으로는 부족하고 이차항 계수의 부호까지 확인해야 함을 직접 점검했다.
선택지를 지운 새 문항에서 순서를 스스로 세우다
이후에는 정답 후보가 제시되지 않은 문제를 풀게 했다. 학생은 먼저 두 근을 표시하고, 이차항 계수의 부호를 확인한 다음, 두 근 사이의 임의의 값 하나를 대입해 부호를 검산했다. 예를 들어 근이 2, 5이고 이차항 계수가 양수라면 x=3을 대입해 두 인수의 부호가 서로 다름을 확인하고, 해당 구간에서 함수값이 음수라고 판단했다.
마지막에는 근 사이의 구간을 양수라고 주장하는 식을 직접 반례로 검사했다. x=3을 대입했을 때 실제 함수값이 음수가 나오면 그 주장은 성립하지 않는다고 판정했다. 학생은 계산 결과뿐 아니라 반례가 존재하는지까지 확인하며 두 근 사이의 부호 해석을 마무리했다.