수성동 대구남산고등학교 수학과외
그래프에서 찾은 후보를 매개변수의 범위로 좁히는 과정
수성동에서 진행한 한 수학 과외 시간에 학생은 매개변수에 따라 두 조건의 공통해가 생기는 범위를 판단하는 선택지 문제를 풀고 있었다. 그림 위에 두 그래프가 만날 수 있는 위치와 매개변수가 움직일 때 허용되는 구간을 표시했지만, 이를 식의 조건으로 옮기는 단계에서 범위를 충분히 제한하지 못했다. 후보를 빠르게 찾고도 실제로 공통해가 존재하는지 확인하는 계산이 늦어져 선택지 검토가 길어졌다.
후보 하나를 남기기 전에 반례를 확인한 장면
학생은 한 선택지가 그래프의 위치와 대략 맞는다는 이유로 정답 후보라고 판단했다. 그러나 매개변수 범위의 끝값과 내부값을 각각 대입해 보자, 그중 한 값에서는 두 식을 동시에 만족하는 해가 생기지 않았다. 공통해가 생길 수 있는 위치를 표시한 것과 모든 매개변수에서 공통해가 보장되는 것은 다르다는 점이 드러난 것이다.
이후에는 표시한 구간을 곧바로 답으로 옮기지 않고, 먼저 공통해 조건을 식으로 정리한 뒤 매개변수의 허용범위를 다시 판정했다. 특히 구간의 양 끝이 포함되는지 확인하고, 후보를 만족하지 않는 값을 하나라도 찾으면 해당 선택지를 제거하도록 순서를 바꾸었다.
가능해 보이는 범위와 실제로 공통해가 존재하는 범위는 반례가 없는지 확인한 뒤에야 같은 답으로 볼 수 있다.
조건이 달라진 문항에서 스스로 정한 검산 순서
새 문제에서는 그래프의 모양과 매개변수 조건이 달라졌지만, 학생이 직접 풀이 순서를 정했다. 먼저 두 식의 공통해가 필요한 조건을 표시하고, 그 조건에서 매개변수가 가질 수 있는 범위를 계산했다. 이어 선택지에 제시된 범위의 경계값과 임의의 내부값을 대입해 실제 공통해가 유지되는지 확인한 뒤 최종 답을 골랐다.
마지막에는 정답으로 남긴 범위에서 공통해가 생기지 않는 매개변수가 있는지 반례를 찾아보게 했다. 학생은 경계값 하나만 맞는 것으로는 충분하지 않으며, 제시된 범위 전체가 조건을 만족해야 한다고 설명했고, 반례가 발견되지 않는지 확인한 뒤 답을 확정했다.