지산동 능인고등학교 수학과외
두 갈래 해집합을 쓴 뒤에도 조건을 확인한 풀이
능인고등학교 수학 문제를 풀던 학생은 여러 계산 단계 중 절댓값 부등식이 등장하는 부분을 먼저 표시했다. 풀이를 번호로 나누어 적으면서, 중심에서 일정 거리보다 바깥쪽을 나타내는 식이 나오면 해를 한 방향으로 이어 쓰지 않고 양쪽 범위로 나누어야 한다는 판단을 스스로 풀이 순서에 넣었다.
계산 결과가 항상 허용되는 것은 아니었던 이유
학생은 |x-a|>r을 x<a-r 또는 x>a+r로 바꾸는 계산까지는 자연스럽게 진행했다. 그러나 그 뒤에는 두 범위가 실제 조건에서 성립하는지 무엇으로 확인해야 할지 정하지 못했다. 특히 이 표현은 거리의 기준이 되는 r이 양수라는 조건과 함께 해석해야 하며, 결과에 포함된 값이 원래 부등식을 만족하는지 대입해 보아야 한다.
교정할 때는 답을 바로 지우지 않고, 먼저 허용되지 않는 값을 일부러 넣어 보았다. 예를 들어 |x-3|>2에서 경계 안쪽의 값 x=3을 대입하면 0>2가 되어 거짓이다. 반면 x=0은 3>2이므로 왼쪽 해에 들어가고, x=6은 3>2이므로 오른쪽 해에 들어간다. 이 반례 확인을 통해 학생은 해집합이 x<1 또는 x>5처럼 두 바깥쪽 범위로 나뉘는 이유를 계산 결과와 원래 조건을 연결해 점검했다.
정답 후보를 지운 뒤에도 남은 조건을 확인한 장면
이후에는 숫자와 중심이 달라진 새 문항에서 학생이 순서를 직접 정했다. 절댓값식을 정리한 다음 양쪽 범위로 분리하고, 각 범위가 원래 조건에 맞는지 확인한 뒤, 경계값을 대입해 등호가 포함되지 않는다는 점까지 검산했다. 교사가 선택지를 제시하지 않았는데도 계산이 시작된 줄이 아니라 두 해로 나눈 직후가 오류가 생길 수 있는 첫 지점이라고 특정했다.
|x-a|>r은 중심에서 거리가r보다 큰 값이므로, 경계 두 개의 바깥쪽인x<a-r또는x>a+r로 판단한다.
마지막에는 임의의 한 값을 각 해의 안쪽과 바깥쪽에 나누어 대입했다. 안쪽 값은 원래 부등식을 만족하지 않고 양쪽 해에 포함된 값은 만족한다는 것을 확인하면서, 학생은 단순히 두 식으로 변환하는 데서 그치지 않고 해집합이 실제 조건을 보존하는지 스스로 검증했다.