대구서구 계성고등학교 수학과외







서로 다른 근호가 요구한 범위를 한 구간으로 모은 과정
대구서구에서 계성고등학교 수학 문제를 살펴보던 학생은 문자와 수치가 함께 들어간 여러 근호식의 정의역을 정리하고 있었다. 문제를 보자마자 수직선과 그래프에 각 근호의 조건이 나타나는 위치를 표시했지만, 표시한 범위와 실제로 모든 근호가 동시에 존재하는 범위를 구분하지 못했다.
계산 결과와 공통 조건이 엇갈린 지점
예를 들어 √(x-1), √(5-x), √(2x-3)이 함께 포함된 식이라면 각각의 근호 안은 0 이상이어야 한다. 따라서
x-1 ≥ 0에서x ≥ 15-x ≥ 0에서x ≤ 52x-3 ≥ 0에서x ≥ 3/2
가 된다. 학생은 세 조건을 수직선에 표시하는 데까지는 진행했지만, 각 조건에서 나온 계산값을 따로 적는 것과 세 조건을 동시에 만족하는 구간을 결정하는 것은 다르다는 점에서 멈췄다. 실제 정의역은 세 구간의 교집합인 [3/2, 5]이다.
여러 근호의 공통 정의역은 각 근호가 허용하는 구간을 모두 겹쳐 놓았을 때 남는 부분이다.
근호별 조건을 한 줄씩 복원한 뒤 달라진 판단
교정할 때는 완성된 답을 먼저 보지 않고, 식에서 근호 안에 있는 부분만 차례로 골라 부등식으로 바꾸게 했다. 학생은 각 부등식의 해를 수직선에 표시한 뒤, 왼쪽 끝점은 가장 큰 값인 3/2, 오른쪽 끝점은 가장 작은 값인 5가 남는다는 방식으로 공통 범위를 정리했다.
이후에는 앞의 식을 그대로 따라 쓰지 않고 √(x+2), √(7-2x), √(3x-1)이 포함된 새 문항을 풀었다. 근호 안이 0 이상이라는 조건은 유지하되 표현을 바꾸자, 학생은 x ≥ -2, x ≤ 7/2, x ≥ 1/3을 직접 만들고 교집합을 [1/3, 7/2]로 결정했다.
마지막에는 답만 확인하지 않고 양 끝값을 대입했다. x=1/3에서는 3x-1=0이 되고, x=7/2에서는 7-2x=0이 되어 두 끝점이 포함됨을 확인했다. 또 이 범위를 벗어나면 적어도 하나의 근호 안이 음수가 되므로, 단순 계산 결과가 아니라 세 조건의 교집합이 최종 정의역이라는 판단이 정착되었는지까지 검증했다.
학교 진도와 연결해 살펴볼 학습 범위
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