대곡동 대진고등학교 수학과외







대곡동에서 진행한 한 수업에서 학생은 다항식의 나눗셈 결과를 바로 다음 풀이의 근거로 사용하기 전에, 나머지정리로 다시 확인하는 습관을 시도했다. 대진고등학교 문제를 풀 때도 답을 고르기 전 검산식을 한 줄 덧붙였지만, 두 결과가 같다는 사실만 확인하고 그 결과가 어떤 조건에서 유효한지는 충분히 따지지 못했다.
나눗셈 결과와 함수값이 맞아도 조건을 봐야 했던 순간
예를 들어 학생은 P(x)=x³-3x²+4x-5를 x-2로 나누었다. 직접 나눗셈에서는 몫이 x²-x+2, 나머지가 -1이었고, 나머지정리를 이용해 P(2)=8-12+8-5=-1임을 확인했다. 여기까지는 두 계산이 일치했다.
하지만 다음 단계에서 학생은 이 값을 조건 확인 없이 그대로 사용하려 했다. 실제로 멈춘 지점은 계산값 자체가 아니라, 나머지정리를 적용한 결과가 ‘일차식 x-a로 나눌 때’에만 나머지라는 조건을 판단하는 부분이었다.
나머지정리의 값은 모든 나눗셈에 적용되는 값이 아니라, 나누는 식이 x-a일 때의 나머지다.
틀린 값을 지우기보다 성립하지 않는 경우를 만들어 본 과정
교정할 때는 기존 결과를 단순히 삭제하지 않고 반례를 만들었다. x²+1을 x²+1로 나누면 직접 나눗셈의 나머지는 0이다. 그러나 P(0)=1이므로, 나누는 식이 일차식이 아닌데 임의의 수를 대입해 나머지를 정할 수는 없다는 점이 드러났다. 학생은 이 반례를 통해 계산 결과가 맞는지뿐 아니라 나머지정리를 적용할 형식인지 먼저 확인해야 한다는 것을 풀이에 표시했다.
표현이 바뀐 식에서 조건을 먼저 확인한 적용
이후에는 식을 바꾼 새 문제를 제시했다. 2x³-x+4를 x+3으로 직접 나누면 몫은 2x²-6x+17, 나머지는 -47이다. 나누는 식이 x-(-3)의 형태이므로 나머지정리로 계산한 P(-3)=-54+3+4=-47과 비교할 수 있었다.
학생은 이전 식을 따라 쓰지 않고 먼저 x+3=x-(-3)으로 바꾼 뒤 대입값을 정했다. 마지막에는 풀이를 역순으로 점검하며, 나머지가 처음 어긋날 수 있는 지점이 계산 중간이 아니라 ‘나누는 식이 일차식 x-a인지 확인하지 않은 첫 줄’이라고 스스로 특정했다.