당감동 부산국제고등학교 수학과외
제곱한 식의 답과 원래 식의 답이 달라진 순간
부산국제고등학교 학생은 무리방정식을 풀면서 제곱한 뒤 얻은 해를 그대로 답으로 옮기려 했다. 예를 들어 √(x+1)=x-1을 양변 제곱하면 x+1=(x-1)², 즉 x(x-3)=0이 되어 후보는 0과 3으로 정리된다. 하지만 제곱 과정에서는 원래 식에 없던 값이 섞일 수 있으므로 두 후보를 원래 식에 다시 넣어야 한다.
결과는 적었지만 연결된 식이 빠진 답안
학생은 후보 0과 3을 대입한 뒤 3만 남는다는 결론은 썼다. 그러나 왜 두 수가 후보가 되었는지 보여 주는 x+1=(x-1)²라는 관계식을 답안에서 생략했다. 계산 절차는 이어졌지만, 어떤 식에서 나온 값을 검토하는지와 원래 조건을 어떻게 적용했는지가 드러나지 않아 서술형 풀이의 논리가 끊겨 있었다.
제곱한 뒤 얻은 값은 최종 해가 아니라 후보이며, 원래 식을 만족하는지 확인한 값만 해로 남긴다.
두 조건을 나눠 적으며 검산 기준을 세우다
교정할 때는 풀이를 ‘제곱한 뒤 성립하는 조건’과 ‘원래 식에서 성립해야 하는 조건’으로 나누어 적게 했다. 먼저 x+1=(x-1)²에서 후보를 구하고, 다음 칸에서는 √(x+1)=x-1에 후보를 각각 대입했다. x=0은 좌변이 1이고 우변이 -1이므로 탈락하고, x=3은 양변이 2로 같아 남는다는 차이를 직접 확인했다.
정답 후보가 사라지는 새 문항에서 순서를 직접 정하다
이후에는 제곱한 식에서 나온 값이 모두 정답이라고 표시되지 않은 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 원래 식을 따로 적고, 제곱으로 얻은 관계식에서 후보를 정리한 뒤, 후보별로 원래 식에 대입하는 순서를 스스로 정했다. 계산 결과만 고르는 데 그치지 않고 탈락한 값이 어느 조건에서 실패했는지도 함께 기록했다.
마지막에는 답을 역순으로 설명하게 했다. 학생은 최종 해가 원래 식을 만족하고, 그 해가 제곱한 관계식에서도 나오는지 확인한 뒤, 탈락한 후보는 제곱한 식만 만족했을 뿐 원래 식에서는 성립하지 않는다고 정리했다. 이 방식으로 제곱 과정에서 생긴 무연근을 남기지 않는 검산 절차를 스스로 완성했다.