당감동 한국과학영재학교 수학과외
교점의 개수가 바뀌는 경계를 놓친 서술형 풀이
한국과학영재학교 관련 학습에서 학생은 매개변수에 따라 무리방정식의 실근 개수가 달라지는 문항을 만났다. 비슷해 보이는 두 조건을 구별해야 했기 때문에, 먼저 무리식이 나타내는 그래프와 매개변수가 포함된 그래프를 좌표평면에 표시하고 가능한 교점의 위치를 여백에 적었다.
처음에는 그래프의 모양과 교점 수를 비교하며 풀이를 진행했지만, 교점의 개수가 달라지는 경계에서 판단 기준이 바뀌자 앞부분으로 되돌아가기를 반복했다. 특히 서술형 답안에는 “실근이 두 개”, “실근이 한 개”와 같은 결과만 남고, 왜 그 개수가 결정되는지 보여 주는 관계식이 빠졌다. 그래프를 읽은 과정과 결론 사이가 끊겨 채점에서 근거로 인정되기 어려운 상태였다.
교점 수를 결정한 접점 조건을 식으로 남기기
교정할 때는 그래프를 그리는 데서 멈추지 않고, 두 그래프를 각각 y=f(x)와 y=g_a(x)로 두어 교점이 방정식의 실근에 해당한다는 관계를 먼저 적게 했다. 이후 매개변수 a가 변할 때 두 그래프가 만나거나 접하거나 만나지 않는 경계를 구분했다.
예를 들어 경계에서 두 그래프가 접한다면 단순히 교점이 하나라고 쓰는 대신, f(x)=g_a(x)를 만족하면서 기울기까지 같아지는 조건을 함께 확인해야 한다. 그래프가 서로 만나는 구간에서는 교점의 개수를 세고, 정의된 무리식의 범위를 벗어난 점은 제외하도록 했다.
무리방정식의 실근 수는 식을 정리한 결과만이 아니라, 허용되는 범위 안에서 두 그래프가 실제로 만나는 점의 개수로 판단한다.
정답 선택지 없이 매개변수 범위를 다시 세운 과정
다음에는 보기와 정답 후보를 제공하지 않고, 그래프의 위치와 조건만 제시된 새로운 문항을 풀게 했다. 학생은 먼저 무리식의 정의역을 확인한 뒤 두 그래프의 교점이 생기는 범위를 나누고, 접하는 경우를 경계값으로 따로 표시했다. 그 다음 각 범위에서 교점이 몇 개인지 계산과 그래프를 대조해 최종 답을 구성했다.
이전처럼 교점 수만 먼저 고르지 않고, “이 매개변수 범위에서 두 그래프가 만나는가”, “경계값은 한 교점으로 포함되는가”, “무리식 조건을 만족하는가”를 순서대로 점검했다. 보기가 사라진 상황에서도 풀이의 기준을 스스로 세운 점이 달라졌다.
경계값에서 예외가 남지 않는지 확인한 마지막 점검
마지막에는 새로운 계산을 추가하기보다, 학생이 작성한 분류를 역순으로 검토하게 했다. 각 실근 개수의 범위에서 출발해 해당 교점의 위치를 설명하고, 경계값에서는 두 그래프가 접하는지 또는 교점이 사라지는지를 확인했다. 이어 정의역 조건을 다시 대입해 제외되는 점이 없는지도 살폈다.
그 결과 학생은 그래프의 교점 수와 매개변수 조건 사이의 관계식을 빠뜨리지 않고, 비슷한 조건이 등장해도 접점과 정의역을 기준으로 구별할 수 있었다. 분류의 끝에서는 각 범위가 서로 겹치지 않고 모든 가능한 경우를 포함하는지도 확인해 예외가 남지 않도록 답안을 완성했다.