사하구 삼성여자고등학교 수학과외
해의 개수를 세기 전에 매개변수의 경계를 찾다
삼성여자고등학교 학생과 사하구에서 진행한 수업에서는 로그방정식의 계산 자체보다 매개변수에 따라 해의 개수가 언제 달라지는지를 먼저 판단하는 데 초점을 맞췄다. 신평현대아파트 인근에서 가져온 선택형 문제를 풀 때도 학생은 처음부터 답을 고르기보다, 매개변수의 값이 바뀌면서 그래프나 양변의 관계가 달라지는 중간 지점을 여백에 표시했다.
처음 풀이에서는 그 표시를 따라 후보를 좁혔지만, 해의 개수 판단 기준이 바뀌는 지점에서 앞선 판단을 그대로 이어 가지 못했다. 특히 선택지 중 조건에 맞아 보이는 후보를 찾은 뒤, 그 후보가 모든 매개변수 범위에서 성립하는지 반례를 확인하지 않고 정답으로 확정한 것이 오답의 시작이었다.
후보를 찾은 줄과 정답을 확정한 줄을 분리하다
교정할 때는 기존 답을 가린 뒤, 로그의 정의역 조건과 매개변수에 따른 해의 개수 변화를 처음부터 말로 설명하게 했다. 이어 오답이 시작된 한 줄만 새 계산으로 바꾸고, 그 결과가 앞뒤 조건과 어떻게 연결되는지 다시 확인했다. 이 과정에서 학생은 ‘가능한 후보를 찾는 단계’와 ‘그 후보가 항상 맞는지 검증하는 단계’를 구분했다.
로그방정식의 해 개수는 계산 결과 하나만으로 확정하지 않고, 매개변수의 범위를 나누어 각 구간에서 조건을 만족하는 해가 몇 개인지 확인해야 한다. 경계가 되는 값에서는 정의역에 포함되는지, 두 식의 대응이 달라지는지를 별도로 살펴야 하므로 표시한 중간값을 기준으로 판단을 다시 세웠다.
매개변수 문제에서는 후보를 찾는 것보다 각 매개변수 범위에서 해의 개수가 실제로 유지되는지 확인하는 일이 먼저다.
정답 후보가 사라진 문항에서 순서를 스스로 정하다
다음에는 기존 정답 선택지를 없애고 조건과 표현을 바꾼 로그방정식을 제시했다. 학생은 먼저 로그의 정의역을 점검한 뒤 매개변수의 경계가 되는 값을 찾고, 범위별로 해의 개수를 비교했다. 마지막에는 계산 결과와 조건을 대조해 후보를 남기는 순서를 스스로 정했다.
최종 확인에서는 특정 수치를 대입해 답을 맞히는 대신, 매개변수의 경계를 기준으로 경우를 나눈 뒤 각 경우의 해 개수가 왜 달라지는지 일반적인 말로 다시 표현하게 했다. 이를 통해 한 선택지의 계산에 의존하지 않고, 조건이 바뀌어도 해의 개수 판단 기준을 적용할 수 있는지 검증했다.