부산남구 배정고등학교 수학과외
곱으로 묶인 진수를 두 로그 항으로 나누어 읽기
배정고등학교 학생과 로그 빈칸 문제를 검토하던 중, 학생은 곱셈 형태의 진수를 로그의 덧셈으로 바꾸는 계산을 한 줄 덧붙인 뒤 답을 고르려 했다. 예를 들어 log_a(MN)을 보면 log_a M+log_a N으로 전개해야 한다는 방향은 알고 있었다.
후보를 찾았지만 반례를 지나친 선택
학생은 문제에서 요구한 값까지 계산했지만, 왜 중간식이 성립하는지는 적지 않고 선택지와 비슷한 후보를 바로 골랐다. 특히 log_2(3×4)를 log_2 3+log_2 4로 바꾸는 과정은 떠올렸지만, 선택지 중 하나가 특정 숫자에만 맞는지 확인하지 않았다. 결국 후보를 찾은 뒤 반례를 점검하지 않아 잘못된 선택지를 정답으로 확정했다.
곱셈으로 이루어진 진수는 같은 밑의 로그 두 항의 덧셈으로 바꾸되, 선택지는 다른 값에서도 성립하는지 확인해야 한다.
계산을 외운 것이 아니라 관계식으로 설명하기
교정할 때는 공식을 그대로 반복하지 않고, “곱셈한 진수의 로그를 한 번에 계산하는 대신 각 인수의 로그를 더한 것”이라고 설명하게 했다. 이어 log_a(xy)=log_a x+log_a y를 기준으로 진수의 두 인수를 먼저 표시하고, 각각의 로그 항으로 분리하도록 했다. 이 과정을 거치면서 학생은 답을 고르기 전에 전개된 식을 직접 써야 한다는 점을 확인했다.
이후에는 밑과 수의 표현을 바꾼 새 문항에서 log_5(2×15)를 보고 이전 식을 복사하지 않고 log_5 2+log_5 15라는 관계식을 스스로 만들었다. 조건 하나만 유지된 문제에서도 곱셈 형태의 진수를 먼저 찾아 두 로그 항으로 나누었다.
마지막으로 처음 선택했던 보기의 식을 다른 수에 대입해 반례가 생기는지 확인했다. 곱셈 법칙에 맞지 않는 보기는 새로운 인수 조합에서 등식이 깨졌고, 올바른 전개식만 같은 관계를 유지했다. 학생은 후보를 고르는 데서 멈추지 않고 반례가 존재하지 않는지까지 확인하며 풀이를 마무리했다.