구서동 동래여자고등학교 수학과외
동래여자고등학교 학생과의 수업에서 합성함수 풀이를 살펴보던 중, 답의 숫자는 맞지만 그 값에 이르는 관계식이 빠진 서술형 답안을 발견했다. 구서동에서 가져온 문제 자료에는 합성된 결과를 보고 원래 함수의 값을 거꾸로 찾아야 하는 상황이 제시되어 있었다.
답은 맞았지만 연결 고리가 사라진 서술형 풀이
학생은 제시된 풀이를 한 줄씩 따라가며 합성 결과가 처음 사용된 부분에 표시를 남겼다. 예를 들어 f(g(2))=7이고 g(2)=3이라면, 바로 f(3)=7이라고 결론 내릴 수 있다. 하지만 학생의 답안에는 마지막 결과만 적혀 있었고, g(2)=3을 이용해 입력값을 바꾸었다는 중간 관계가 빠져 있었다.
표시한 부분을 다시 읽을 때 학생은 어느 순간부터 판단 기준이 달라지는지 쉽게 설명하지 못했다. 합성함수의 결과를 그대로 원래 함수의 값으로 읽은 것이 아니라, 먼저 안쪽 함수의 출력값을 확인한 뒤 그 값을 바깥 함수의 입력으로 옮겨야 한다는 점에서 풀이가 갈렸다.
안쪽 함수의 출력이 바깥 함수의 입력이 되는 순간
교정에서는 식을 계산 순서가 아니라 관계의 연결로 바꾸어 말하게 했다. f(g(2))=7에서 g(2)=3이라는 사실을 먼저 찾아야 하며, 따라서 f(g(2))=f(3)=7로 이어진다고 설명하도록 했다. 이렇게 쓰면 단순히 7을 옮겨 적은 것이 아니라, 합성 결과를 만드는 직전 관계식이 드러난다.
합성된 식에서 바깥 함수에 들어가는 값은 원래 입력값이 아니라 안쪽 함수가 만들어 낸 출력값이다.
이후에는 같은 계산을 반복하지 않고, 표현을 바꾸어 설명하게 했다. 학생은 “안쪽 함수의 결과를 새로운 입력으로 바꾸면 그 입력에서의 바깥 함수값을 알 수 있다”고 정리했다. 식의 모양을 외운 것이 아니라 두 함수 사이의 연결을 이해했는지 확인하는 과정이었다.
표현을 바꾼 새 관계식에서 직접 만든 풀이
새 문항에서는 앞서 본 식을 그대로 복사하지 않고, 예를 들어 h(k(4))=9와 k(4)=−2가 주어진 경우를 제시했다. 학생은 먼저 h(k(4))=h(−2)로 바꾼 뒤 h(−2)=9라는 관계를 직접 작성했다. 숫자와 함수 기호가 달라졌지만, 안쪽 함수의 출력값을 바깥 함수의 입력으로 대입하는 절차는 스스로 유지했다.
마지막에는 결론을 원조건과 대조했다. k(4)=−2가 실제로 주어진 조건인지, 구하려는 값이 h(−2)인지 확인한 뒤에만 답을 확정했다. 조건에 없는 값을 임의로 바꾸거나 합성 결과를 곧바로 원래 함수값으로 읽지 않는지 점검하면서, 역추적한 결론의 허용 여부까지 스스로 판정했다.