광안동 덕문여자고등학교 수학과외
후보를 골랐지만 반례에서 멈춘 지수 비교
광안동에서 덕문여자고등학교 수학 문제를 함께 살펴보던 중, 학생은 함수값의 대소를 비교하는 문항에서 중간식마다 필요한 값을 옆에 적어 두었다. 예를 들어 함수값이 \(2^{f(x)}\)와 \(2^{g(x)}\)의 형태로 정리되면 지수 \(f(x)\), \(g(x)\)를 따로 계산한 뒤 같은 밑 2를 기준으로 비교하려고 했다.
풀이 흔적은 분명했지만, 계산해서 얻은 수와 실제 판단에 필요한 조건을 구분하지 못했다. 밑이 같은 양의 수이고 그 밑이 1보다 큰지, 또는 0과 1 사이인지 확인하지 않은 채 지수의 크기만 함수값의 대소로 옮긴 것이다. 선택지 검토에서도 조건에 맞아 보이는 후보를 찾은 뒤, 그 판단이 모든 경우에 성립하는지 반례를 확인하지 않고 정답으로 확정했다.
지수의 크기를 그대로 옮길 수 있는 조건
먼저 선택지를 지우지 않고, 함수값 비교에 필요한 핵심만 표시하게 했다. 밑이 \(a\)일 때 \(a^u\)와 \(a^v\)를 비교하려면 \(a>1\)인지 \(0 이후에는 앞서 적어 둔 중간값을 그대로 이용하지 않고, 지수의 차를 보는 방식으로 검산했다. \(2^5\)와 \(2^3\)은 밑이 같고 \(2>1\)이므로 \(5>3\)이라는 사실만으로 \(2^5>2^3\)을 확인할 수 있었다. 반대로 \((\frac12)^5\)와 \((\frac12)^3\)에서는 지수가 더 큰 쪽의 값이 오히려 작아진다는 반례를 직접 적어, 밑의 범위를 생략하면 안 되는 이유를 확인했다. 새 문항에서는 처음부터 제시된 정답 후보를 기준으로 판단하지 않도록 했다. 학생은 먼저 두 함수값을 같은 밑의 거듭제곱 꼴로 정리하고, 밑의 범위를 표시한 다음, 지수의 대소를 계산하고, 마지막에 부등호 방향을 검산하는 순서를 스스로 정했다. 이번에는 앞 문제와 다른 조건으로 밑이 \(0 마지막에는 계산 과정을 다시 따라가지 않고, 왜 같은 밑의 비교가 가능한지와 언제 부등호 방향이 바뀌는지를 설명하게 했다. 학생은 밑이 1보다 큰 경우와 0과 1 사이인 경우를 나누어 말하고, 밑이 같다는 조건이 빠지면 지수 비교만으로 함수값의 대소를 정할 수 없다고 정리했다. 이 설명으로 단순 계산값과 함수값 판단의 근거를 구별했는지 확인했다.정답 후보를 지운 뒤 순서를 직접 세운 적용