덕포동 대덕여자고등학교 수학과외
덕포동에서 수학 과외를 받던 학생은 함수의 그래프와 표를 보고 답의 범위를 좁히는 데에는 빠르게 반응했지만, 마지막에 왜 그 범위만 가능한지 설명하는 과정에서 자주 멈췄다. 대덕여자고등학교 학습에서 다룬 한 문항도 함수값의 대소 조건으로부터 가능한 x의 범위를 거꾸로 찾는 문제였다.
답 후보는 줄였지만, 마지막 범위 판정에서 멈춘 이유
학생은 식 옆에 핵심 조건을 짧게 표시한 뒤 함수값의 크기를 비교할 수 있는 부분부터 찾았다. 그래프에서 답 후보를 빠르게 줄이는 데는 성공했지만, 표의 한 칸을 함수값에 대응하는 x의 위치로 잘못 읽으면서 이후 계산이 계속 어긋났다. 예를 들어 특정 x에서의 함수값이 더 작다는 조건을 확인해야 하는데, 바로 옆 x의 위치를 선택해 전혀 다른 값을 비교하고 있었다.
이때 단순히 틀린 값을 지우게 하지 않고, 그 값이 정말 조건을 만족하는지 반례로 확인하게 했다. 잘못 선택한 x를 대입해 함수값을 다시 비교하자 주어진 대소 관계가 성립하지 않는다는 사실이 드러났다. 학생은 답을 고치는 데서 끝내지 않고, 조건을 만족하지 않는 x는 범위에 포함될 수 없다는 방식으로 후보를 하나씩 제외했다.
함수값의 대소 조건에서 x의 범위를 찾을 때는 위치를 먼저 정하는 것이 아니라, 선택한 x가 실제 함수값 조건을 만족하는지 역으로 확인해야 한다.
표현이 바뀐 관계식에서 범위를 직접 구성하다
이후에는 기존 식을 다시 보여 주지 않고, 같은 유형이지만 함수값의 비교 관계와 표의 배치를 바꾼 문항을 제시했다. 학생은 먼저 대소 조건이 가리키는 함수값을 표시한 다음, 그 값에 대응하는 x의 위치를 찾아 후보 범위를 만들었다. 이번에는 한 칸 옆의 값을 임의로 연결하지 않고 각 x에 대응하는 함수값을 직접 확인한 뒤 범위를 정리했다.
마지막 검증에서는 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 자신이 정한 범위의 끝값을 선택해 함수값 조건을 확인하고, 범위 밖의 값을 넣으면 대소 관계가 깨진다는 점을 근거로 결론을 설명했다. 이를 통해 답을 맞힌 결과보다 함수값 조건에서 가능한 x의 범위를 거꾸로 구성한 논리가 실제로 연결되는지 확인했다.