가야동 가야고등학교 수학과외
제곱한 뒤에도 매개변수 조건을 끝까지 남겨야 했던 풀이
가야동에서 진행한 고등학교 수학 과외에서 한 학생은 매개변수가 포함된 서술형 문제의 선택지를 검토하고 있었다. 문제의 핵심은 계산된 해만 찾는 것이 아니라, 매개변수 값에 따라 그 해가 실수의 정의역에 남는지 따로 판정하는 일이었다.
학생은 식을 정리한 뒤 계산 결과 옆에 ‘매개변수에 따라 해가 정의역을 벗어나는지 확인’이라는 메모를 붙였다. 풀이의 출발은 정확했지만, 마지막 결론으로 넘어가면서 이 확인을 계속 유지하지 못했다. 후보 선택지를 찾은 뒤에는 식의 형태가 맞는지만 보고, 매개변수의 일부 값에서 해가 허용 범위를 벗어나는지 점검하지 않은 채 정답으로 확정했다.
제곱근의 존재 조건과 해의 정의역을 따로 나눈 장면
교정할 때는 섞여 있던 조건을 두 칸으로 분리했다. 예를 들어
√x = √(a－2)
를 살펴볼 때 먼저 오른쪽 제곱근이 정의되려면 a－2≥0이어야 한다. 양변을 제곱해 얻은 해는 x=a－2이지만, 이 값 역시 제곱근의 정의역인 x≥0을 만족해야 한다. 두 조건을 각각 적어 보니 단순히 x를 계산하는 것만으로는 충분하지 않고, 매개변수 조건을 최종 답에 포함해야 한다는 점이 분명해졌다.
계산된 해와 그 해가 실제로 허용되는 조건은 별개의 항목으로 확인해야 한다.
학생은 이후 조건을 ‘식에 매개변수가 들어갈 수 있는가’와 ‘계산된 해가 정의역에 남는가’로 나누어 적었다. 한 조건을 만족해도 다른 조건에서 탈락할 수 있다는 점을 비교표로 확인하면서, 후보를 고른 뒤 반드시 반례를 대입하는 절차를 추가했다.
식을 바꾼 문항에서 선택지 없이 조건을 세운 적용
다음에는 이전 식을 다시 보여 주지 않고, 제곱근 안의 식과 오른쪽 표현을 모두 바꾼 새 문항을 제시했다. 학생은 먼저 근호 안의 식이 음수가 되지 않는 범위를 적고, 정리해서 얻은 해를 다시 원래 정의역과 대조했다. 이번에는 계산 결과만으로 결론을 내리지 않고, 매개변수의 경계값과 그보다 작은 값을 각각 대입해 해의 존재 여부를 확인했다.
마지막 검증에서는 정답을 설명하게 하는 대신, 오답이 처음 생길 수 있는 줄을 표시하게 했다. 학생은 후보를 고른 뒤 반례 확인을 생략한 줄을 오류의 시작점으로 특정했고, 그 줄에 매개변수 조건과 해의 정의역 판정을 함께 기록했다.