우동 해강고등학교 수학과외
해강고등학교 학생과의 수업에서 비슷해 보이는 두 지수식의 조건을 구분하는 과정이 있었다. 우동 인근에서 문제를 풀던 학생은 답을 고르기 전에 밑이 1보다 큰 지수함수의 증가성을 이용해 해구간을 한 줄로 정리했지만, 그 결과가 언제까지 유효한지 다음 판단에 연결하는 데 주저했다.
밑의 조건을 확인한 뒤에야 비교가 성립한 이유
학생은 예를 들어 \(a>1\)일 때 \(a^{2x-1}>a^{x+2}\)를 보고 지수만 비교하여 \(2x-1>x+2\), 즉 \(x>3\)을 얻었다. 여기까지의 계산은 정확했지만, 학생은 이 부등식에서 얻은 \(x>3\)을 밑의 조건과 관계없이 사용할 수 있는 것처럼 다음 선택지를 판단하려 했다.
풀이를 멈춘 지점은 바로 이 부분이었다. 지수 비교의 결론은 \(a>1\)인 지수함수가 증가한다는 조건 아래에서만 성립한다. 밑이 \(0
지수만 비교하려면 먼저 밑이 1보다 큰지 확인하고, 그 조건 안에서만 해구간을 다음 판단에 사용해야 한다.
식의 모양을 바꿔도 같은 판단을 이어 간 과정
이후에는 앞의 식을 그대로 다시 풀지 않고, \(a>1\)이라는 조건만 유지한 채 \(a^{x+1}\le a^{3-2x}\)를 새로 제시했다. 학생은 먼저 밑의 조건을 표시한 뒤 지수를 비교하여 \(x+1\le3-2x\), 따라서 \(x\le\frac23\)이라고 정리했다. 이번에는 해구간을 얻은 직후 멈추지 않고, 이 결론이 \(a>1\)이라는 전제에서 나온 것인지 식 옆에 직접 적었다.
오답이 시작된 줄을 찾아낸 최종 점검
마지막에는 새로운 계산을 추가하기보다 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 학생은 \(x\le\frac23\)이라는 결론에서 출발해 지수 비교가 가능했던 이유를 거슬러 올라갔고, 처음 오류가 생긴 줄이 밑의 조건을 확인하지 않은 채 지수를 비교하려던 순간이었다고 특정했다. 해구간뿐 아니라 그 해구간이 성립하는 조건까지 함께 확인하면서, 비슷한 지수식의 선택지를 스스로 구별할 수 있었다.