연산동 연제고등학교 수학과외
연산동에서 진행한 한 수업에서는 수식만 계산하지 않고 그래프의 점과 함께 서로 다른 밑의 거듭제곱식을 비교했다. 학생은 선택지의 식을 보며 밑을 같은 수의 거듭제곱으로 바꾸고, 그 결과가 그래프의 대응 지점과 일치하는지 확인하려 했다.
후보 식은 맞았지만 반례를 지나친 순간
문항에는 서로 다른 밑을 가진 거듭제곱식의 관계를 로그 없이 정리하는 과정이 포함되어 있었다. 학생은 여백에 그래프에서 읽은 점의 좌표와 밑의 관계를 표시한 뒤, 예를 들어 4x = 8y를 22x = 23y로 바꾸어 2x = 3y를 얻는 방식으로 후보를 좁혔다.
하지만 선택지 하나가 이 관계와 비슷하게 보인다는 이유로 정답이라고 판단했다. 해당 선택지가 모든 조건에서 성립하는지 확인하려면 특정 값을 대입해 반례를 살펴야 했는데, 그 검토를 생략하면서 틀린 선택지를 확정한 것이 오류의 시작이었다. 풀이를 다시 살펴보니 밑을 공통 거듭제곱으로 바꾸는 단계와, 그 뒤 지수를 비교하는 단계가 한꺼번에 처리되어 있었다.
밑을 통일한 뒤 조건을 따로 확인하기
교정할 때는 계산 결과만 말하지 않고 풀이의 순서를 다른 표현으로 설명하게 했다. 학생은 “서로 다른 밑을 바로 비교하는 것이 아니라, 먼저 같은 밑의 거듭제곱으로 바꾼 다음 지수 사이의 관계를 판단해야 한다”고 정리했다. 이어 9a = 27b를 32a = 33b로 바꾸어 2a = 3b가 되는 과정을 직접 설명했다.
이후에는 정답 후보를 미리 제시하지 않은 새 문항을 풀었다. 학생은 그래프에서 대응하는 점을 먼저 확인하고, 각 밑을 공통 밑으로 표현한 뒤, 조건을 식으로 정리하고 마지막에 후보의 성립 여부를 대입으로 검산하는 순서를 스스로 정했다. 계산 중간에 비슷한 식이 나와도 밑의 변환이 실제로 같은 값을 보존하는지 다시 확인했다.
풀이를 역순으로 되짚은 최종 확인
마지막에는 완성된 관계식에서 출발해 어떤 공통 밑의 표현을 거쳐 원래의 거듭제곱식으로 돌아가는지 역방향으로 설명하게 했다. 학생은 2x = 3y가 단순히 외운 결과가 아니라 4x = 8y에서 밑을 2로 통일해 얻은 관계임을 연결해 말했다. 이를 통해 반례 확인과 조건 점검이 빠진 지점을 스스로 찾아내며, 로그 없이도 서로 다른 밑의 거듭제곱식을 비교하는 논리를 검증했다.