망미동 부산남일고등학교 수학과외
전개보다 먼저 밑의 위치를 읽어야 했던 문제
망미동에서 부산남일고등학교 수학 과외를 받던 학생은 지수함수의 증가와 감소를 묻는 선택지 문제에서 처음부터 식을 길게 전개하려 했다. 하지만 문항의 핵심은 복잡한 계산이 아니라 밑의 범위에 따라 변화 방향을 판단하는 것이었다.
학생은 풀이를 멈추고 식 안에서 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이에 있는지를 표시했다. 지수함수 y=a^x는 a>1이면 증가하고 0<a<1이면 감소하므로, 밑의 범위가 바뀌는 지점에서는 같은 기준을 계속 적용할 수 없었다. 학생은 여백에 이 구분을 적었지만, 선택지를 검토할 때 기준이 달라지는 부분에서 풀이를 다시 시작해야 했다.
맞는 형태를 찾고도 반례를 놓친 선택지
학생은 밑의 조건을 이용할 수 있는 후보를 찾아냈지만, 그 결론이 모든 허용 범위에서 성립하는지 확인하지 않고 정답으로 확정했다. 예를 들어 밑이 0<a<1일 때는 지수함수가 감소하고, a>1일 때는 증가하므로 밑의 범위를 하나로 묶어 말한 선택지는 조건에 따라 반례가 생길 수 있다.
교정할 때는 계산 결과만 고치는 대신, 같은 내용을 다른 표현으로 설명하게 했다. 학생은 “밑이 1을 경계로 증가와 감소가 나뉘며, 밑이 1이면 y=1인 상수함수가 된다”고 정리했다. 이를 통해 표시한 문장을 외운 것이 아니라 밑의 위치가 변화 방향을 결정한다는 관계를 확인했다.
지수함수의 변화 방향은 지수의 복잡한 전개보다 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 먼저 판정해야 한다.
식이 바뀌어도 원조건으로 결론을 걸러낸 과정
다음에는 이전 식을 그대로 반복하지 않고, 한 조건만 유지한 새로운 관계식을 제시했다. 학생은 먼저 밑의 허용 범위를 나눈 뒤 각 경우의 증가·감소 여부를 직접 적고, 그 결과와 선택지의 표현이 모두 일치하는지 비교했다. 밑이 1이 되는 경우를 별도로 점검해 변화 방향을 단정할 수 없는지도 확인했다.
마지막에는 선택지를 보지 않은 채 결론이 허용되는 조건을 원문으로 되돌려 판정했다. 밑의 범위를 바꿔 넣어도 같은 결론이 유지되는지 반례를 대조한 뒤에야 답을 확정하면서, 변화 방향 판단과 조건 검토를 함께 수행할 수 있게 되었다.