사하구 다대고등학교 수학과외
다대고등학교 학생과 로그 문항을 풀던 중, 식 옆에 “같은 밑이면 진수 비교”라고 표시해 둔 흔적이 눈에 들어왔다. 핵심 위치를 먼저 찾은 덕분에 답에 가까이 갔지만, 왜 두 진수를 같게 둘 수 있는지 설명하지 않은 채 중간 판단을 건너뛰고 있었다.
같은 밑이라는 이유만으로 바로 진수를 같게 둔 순간
학생은 log_a f(x)=log_a g(x) 꼴을 발견하자 곧바로 f(x)=g(x)로 바꾸었다. 계산 자체는 이어졌지만, 이 변환은 밑이 양수이고 1이 아니며 두 진수가 모두 양수일 때만 성립한다는 점을 확인하지 않았다. 특히 문제에서 구한 후보가 로그의 진수 조건을 만족하는지 판단하는 단계에서 풀이가 멈췄다.
밑이 같은 로그의 값이 같다면 진수도 같지만, 먼저 밑의 범위와 각 진수의 양수 조건을 확인해야 한다.
두 조건을 따로 적어 변환의 근거를 확인한 과정
교정할 때는 한 줄에 섞여 있던 조건을 두 칸으로 나누었다. 첫 칸에는 a>0, a≠1을 적어 로그의 밑 조건을 확인하고, 둘째 칸에는 f(x)>0, g(x)>0을 적어 진수의 허용 범위를 점검했다. 그다음에야 log_a f(x)=log_a g(x)를 f(x)=g(x)로 바꾸도록 했다. 같은 변환이라도 조건을 먼저 확인한 경우와 생략한 경우의 결과를 나란히 계산하면서, 후보를 구하는 일과 후보가 실제 해인지 판정하는 일이 다르다는 점을 구분했다.
이후에는 정답 선택지가 제시되지 않은 새 로그 문항을 건넸다. 학생은 먼저 밑의 조건과 진수의 양수 조건을 적고, 같은 밑임을 확인한 뒤 진수 방정식으로 변환했다. 방정식에서 얻은 값을 원래 진수에 대입해 허용 범위를 다시 확인하고, 조건을 만족하지 않는 후보는 답에서 제외했다. 앞선 문제의 수치를 그대로 따라 한 것이 아니라, 바뀐 식에서 계산과 조건 확인, 검산의 순서를 스스로 정했다.
변환 뒤에도 남는 예외를 직접 점검한 장면
마지막에는 학생에게 왜 다른 해가 더 생기지 않는지 풀이를 역순으로 설명하게 했다. 밑이 0<a≠1인 로그 함수는 한 값에 대해 진수가 하나로 정해지므로, 두 로그값이 같을 때 허용된 범위 안에서는 두 진수가 같아야 한다고 정리했다. 이어서 구한 후보를 원래 로그식의 진수 조건에 대입해 제외되는 값이 없는지 확인했다. 계산 결과뿐 아니라 변환의 전제와 예외까지 확인하면서 같은 밑의 로그 비교를 독립적으로 마무리했다.