청주봉명동 고2수학과외







청주봉명동과외에서 살펴본 시그마 첨자 오류
학생의 풀이 기록은 다음과 같았다.
\[ \sum_{k=1}^{n}(2k+3) =2\sum_{k=1}^{n}k+3\sum_{k=1}^{n}1 =2\sum_{k=1}^{n}k+3n \]
변형 자체는 맞았지만, 다른 문제에 적용하는 과정에서 상수항의 합을 빠뜨리거나 첨자의 시작값을 그대로 옮기지 않는 오류가 나타났다.
작은 값으로 원래 합과 비교하기
\(n=2\)일 때 원래 합은
\[ \sum_{k=1}^{2}(2k+3)=5+7=12 \]
성질을 적용한 식은
\[ 2\sum_{k=1}^{2}k+3\sum_{k=1}^{2}1 =2(1+2)+3(2)=12 \]
두 값이 같으므로 변형이 올바른지 확인할 수 있다. \(n=3\)에서도 원래 합은 \(5+7+9=21\), 변형한 합은 \(2(1+2+3)+3(3)=21\)이다.
첨자까지 함께 확인하는 방법
예를 들어 다음 식을 변형한다고 하자.
\[ \sum_{k=2}^{n}(k+4) \]
올바른 전개는
\[ \sum_{k=2}^{n}k+4\sum_{k=2}^{n}1 =\sum_{k=2}^{n}k+4(n-1) \]
항의 개수는 \(n-2+1=n-1\)개이므로 \(4n\)이라고 쓰면 안 된다. 이처럼 기호의 모양만 보고 상수항을 처리하면 첨자 오류가 생긴다.
새 문제에 적용한 뒤 검산하기
다음 합을 변형해 보자.
\[ \sum_{k=2}^{4}(3k-1) \]
성질을 적용하면
\[ 3\sum_{k=2}^{4}k-\sum_{k=2}^{4}1 =3(2+3+4)-3=24 \]
원래 합도
\[ (3\cdot2-1)+(3\cdot3-1)+(3\cdot4-1) =5+8+11=24 \]
따라서 두 표현은 일치한다.
판단 기준
시그마의 성질을 적용한 뒤에는 작은 \(n\) 또는 짧은 구간을 대입해 원래 합과 비교한다. 원래 합과 변형한 합이 다르면 계산을 계속하기보다, 먼저 첨자의 시작·끝과 항의 개수를 점검해야 한다.