청주봉명동 중2수학과외

답만 맞은 풀이를 거꾸로 읽어 본 확률 수업

봉명중학교가 포함된 생활권에서 다룬 문제는 “주머니에서 공 1개를 꺼낼 때 빨간 공이 나오지 않을 확률을 여사건으로 구하라”는 내용이었다. 문제에는 빨간 공 3개와 파란 공 5개가 들어 있었다.

학생은 완성한 풀이의 중간 두 줄을 손으로 가린 뒤, 마지막 식부터 거꾸로 읽었다. 맨 아래에는 1-3/8=5/8이 적혀 있었고, 그 위에는 빨간 공이 나올 확률=3/8이라는 메모가 있었다. 학생은 빨간 공이 나오는 경우를 세고, 그 값을 1에서 뺀 것은 기억했지만, 왜 그 값을 먼저 구했는지는 설명하지 못했다.

“결과가 맞아 보이는 마지막 계산보다, 이 3/8을 어떤 사건의 확률로 정했는지부터 다시 보자.”

거꾸로 확인한 첫 분기점

학생은 공의 전체 개수를 8개로 세고, 빨간 공의 개수 3개를 분자로 적었다. 여기까지는 맞았다. 문제의 질문은 빨간 공이 나오지 않을 확률인데, 학생은 첫 분기점에서 질문받은 사건과 그 반대 사건을 바꾸어 놓았다. 즉 빨간 공이 나오지 않음을 구해야 하는데 빨간 공이 나옴을 먼저 원하는 사건으로 표시한 것이다. 계산 실수나 뺄셈 실수가 아니라, 사건의 이름을 정하는 순간 이미 방향이 어긋났다.

학생은 문제 문장에서 ‘나오지 않을’을 다시 밑줄 긋고, 사건을 두 가지로 나누어 표에 적었다.

• 사건 A: 빨간 공이 나오지 않음
• 사건 A의 여사건: 빨간 공이 나옴
• 전체 경우: 빨간 공 3개와 파란 공 5개, 모두 8개

그 뒤 이미 맞게 세었던 빨간 공 3개와 전체 8개는 그대로 유지했다. 바꾼 것은 계산이 아니라 그 분수의 이름이었다. P(여사건)=3/8로 표시한 다음, 원하는 사건과 여사건의 확률 합이 1이라는 관계를 사용했다.

P(A)=1-P(여사건)=1-3/8=5/8

학생은 “파란 공 5개를 직접 세어도 5/8이지만, 지금은 빨간 공이 나오는 경우를 여사건으로 보고 1에서 빼는 방식”이라고 풀이 옆에 적었다. 처음부터 다시 세거나 다른 풀이법을 덧붙이지 않고, 잘못 붙인 사건의 이름만 바로잡은 것이다.

표로 바꾼 문제에서 다시 찾은 선택

같은 개념을 확인하기 위해 숫자만 바꾸지 않고 문제의 형태를 바꾸었다. 이번에는 상자 안의 카드 구성을 표로 제시했다.

카드 종류	별 카드	하트 카드	달 카드
개수	2	4	6

“카드 한 장을 뽑을 때 별 카드가 아닌 카드가 나올 확률을 구하라”는 질문을 읽자 학생은 먼저 전체 카드 수를 12로 표시했다. 이어 별 카드가 아닌 경우를 바로 세지 않고, 질문의 반대인 ‘별 카드가 나오는 경우’를 여사건으로 동그라미 쳤다. P(여사건)=2/12=1/6을 적은 뒤, P(별 카드가 아님)=1-1/6=5/6이라고 정리했다. 카드 표에서 하트와 달을 합친 10장을 직접 세어 얻은 10/12와도 같은 값인지 확인했다.

힌트 없이 재현한 최종 검증

수업 끝에 학생에게 새로운 상황을 제시했다. 주사위 한 개를 한 번 던질 때 4보다 큰 눈이 나오지 않을 확률을 구하는 문제였다. 도움을 주지 않자 학생은 먼저 “질문받은 사건은 4보다 큰 눈이 나오지 않는 것”이라고 말했다. 이어 그 여사건을 ‘5 또는 6이 나오는 것’으로 정하고, 전체 경우 6, 여사건의 원하는 경우 2를 표시했다.

P(4보다 큰 눈이 나옴)=2/6=1/3이므로,

P(4보다 큰 눈이 나오지 않음)=1-1/3=2/3

학생은 마지막에 1부터 4까지 네 경우를 직접 세어 4/6=2/3인지 확인하고, “구하려는 사건과 여사건을 먼저 구분했기 때문에 1에서 빼는 대상이 분명하다. 두 확률을 더하면 2/3+1/3=1이므로 계산도 맞다”고 설명했다. 청주봉명동중2수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답 자체가 아니라, 새로운 문제에서도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 세운 점이었다.