청주봉명동 중1수학과외

자료를 읽는 순서에서 시작한 중1수학 풀이

청주봉명동과외 수업에서 봉명중학교가 포함된 생활권의 학습 자료를 다시 살펴보던 중, 학생이 자료의 구간과 도수를 헷갈린 풀이를 가져왔다.

한 줄의 오답에서 거꾸로 확인한 원인

문제에는 어느 반 학생들의 통학 시간을 10분 이상 20분 미만, 20분 이상 30분 미만처럼 구간별로 정리한 표가 제시되어 있었다. 표의 도수는 각각 6명, 9명, 7명, 3명이었고, 물음은 전체 학생 수와 히스토그램으로 나타낼 때의 막대 위치를 묻고 있었다.

학생은 표 옆에 다음과 같이 적었다.

10~20의 도수는 10, 20~30의 도수는 20이므로 전체는 10+20+30+40=100명이다.

계산 자체가 틀어진 시점은 덧셈 과정이 아니었다. 구간의 양 끝 숫자를 도수로 읽은 것이 첫 판단 오류였다. ‘10분 이상 20분 미만’은 자료가 들어 있는 범위이고, 그 구간에 실제로 몇 명이 있는지는 도수 칸의 6명으로 정해진다.

구간, 도수, 전체량을 분리해 다시 적기

이미 표에 표시한 선은 지우지 않고, 세 열의 역할만 색으로 구분했다. 첫째 열에는 통학 시간의 범위, 둘째 열에는 그 범위에 해당하는 학생 수를 적었다.

• 10분 이상 20분 미만: 도수 6명
• 20분 이상 30분 미만: 도수 9명
• 30분 이상 40분 미만: 도수 7명
• 40분 이상 50분 미만: 도수 3명

그 뒤 도수만 세로로 연결해 6+9+7+3을 계산했다. 전체량은 25명이라는 결과가 나왔다. 학생은 “구간은 어디에 속하는지 정하고, 도수는 그 안에 몇 개가 있는지 나타내며, 전체량은 도수의 합”이라고 표 아래에 한 줄로 설명했다. 앞서 맞게 옮겨 둔 구간 표기는 그대로 유지하고, 도수로 사용한 숫자만 바로잡은 것이다.

표를 그래프로 바꾸면서 같은 뜻을 확인하다

다음 활동에서는 같은 자료를 표가 아닌 히스토그램으로 옮겼다. 가로축에는 10분 이상 20분 미만부터 40분 이상 50분 미만까지의 구간을 순서대로 표시하고, 세로축에는 학생 수를 표시했다. 첫 번째 막대 높이는 6, 두 번째는 9, 세 번째는 7, 네 번째는 3으로 그렸다.

학생은 막대의 높이를 구간의 끝 수인 20, 30, 40, 50으로 그리려다 멈추고, 각 막대 위에 해당 도수를 다시 적었다. 이어 각 구간의 가운데 위치를 기준으로 점을 찍어 도수다각형으로 연결했다. 표의 네 도수 합이 25이고 그래프 막대 높이의 합도 25인지 확인하면서, 표현은 달라도 대응하는 구간과 수가 같아야 한다는 점을 풀이에 남겼다.

질문 형태가 달라져도 자료를 읽는 방법

숫자만 바꾼 문제가 아니라, 이번에는 표 없이 다음 문장으로 제시된 자료를 사용했다. “30분 이상 40분 미만인 학생은 8명이고, 40분 이상 50분 미만인 학생은 5명이다.” 학생은 문장에서 먼저 구간을 밑줄 긋고, 뒤의 인원 수를 도수 칸에 옮겼다. 이어 네 구간의 도수가 4명, 6명, 8명, 5명으로 주어졌다고 보고 전체 학생 수를 23명으로 계산했다.

그 후 빈 좌표에 히스토그램을 직접 그렸다. 가로축의 구간 순서를 바꾸지 않고, 30분 이상 40분 미만 막대만 높이 8로 세웠다. 그래프를 다시 표로 바꾸어도 구간과 도수가 일치하는지 확인했다. 청주봉명동중1수학과외에서 진행한 이 장면은 자료를 표, 그래프, 문장으로 바꾸어도 같은 정보를 보존해야 한다는 것을 실제 풀이로 보여 주었다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

마지막 문제에서는 칠판의 예시를 가린 채, “어떤 자료의 구간별 도수가 5, 8, 4, 6일 때 전체 자료의 개수와 히스토그램의 막대 높이를 설명하라”는 조건만 제시했다. 학생은 먼저 “주어진 5, 8, 4, 6은 각 구간에 대응하는 도수”라고 썼다. 구간의 숫자를 도수로 바꾸어 읽지 않은 것이다.

학생은 5+8+4+6=23으로 전체량을 구한 뒤, 네 구간을 가로축에 순서대로 배치하고 막대 높이를 각각 5, 8, 4, 6으로 표시했다. 이어 표의 도수 합 23과 그래프 막대 높이의 합 23을 나란히 적고, 두 번째 구간의 막대가 8인 까닭도 설명했다. “그 구간에 해당하는 자료가 8개이기 때문”이라고 스스로 근거를 밝혔다. 처음의 오류였던 구간과 도수의 혼동을 힌트 없이 다시 피하고, 표와 그래프가 같은 자료를 나타내는지까지 검증한 풀이였다.