칠전동 중1수학과외

표를 읽은 뒤 식과 그래프로 이어지는 정비례 풀이

이 생활권의 춘천과외에서 학생과 학교 프린트의 정비례 문제를 다시 살펴보았다. 문제는 물의 양과 무게가 다음 표처럼 대응할 때 두 양의 관계를 식으로 나타내고, 그래프에서 알맞은 점을 찾는 내용이었다.

물의 양 x(L)	1	2	3	5
무게 y(kg)	1.5	3	4.5	7.5

학생은 표의 첫 줄과 둘째 줄을 그대로 보고 “x가 1 늘 때마다 y가 1.5씩 늘어나므로 y=x+1.5”라고 적었다. 이어서 그래프의 세로축에 1.5를 표시하고, 직선이 (0, 1.5)에서 시작한다고 그렸다. 계산 과정 자체는 빠르게 진행됐지만, 풀이가 어긋난 지점은 두 양의 대응값을 더하는 관계로 판단한 순간이었다. 표의 모양을 이전에 풀었던 증가 문제와 같다고 보고, 정비례인지 먼저 확인하지 않은 것이다.

대응값을 나누어 비례상수를 찾다

이미 적은 표는 그대로 두고, 각 열의 y값을 x값과 짝지어 다시 표시했다. 학생은 다음처럼 계산했다.

1.5÷1=1.5, 3÷2=1.5, 4.5÷3=1.5, 7.5÷5=1.5

모든 열에서 y÷x의 값이 같으므로 y와 x는 정비례하고, 그 일정한 값이 비례상수라는 점을 확인했다. 따라서 식은 y=1.5x가 된다. 앞서 쓴 y=x+1.5는 x=1일 때 2.5가 되어 표의 y값 1.5와 맞지 않는다. 학생은 틀린 식을 지우기 전에 표의 한 열을 원래 식에 대입해 결과가 맞지 않는 이유를 직접 확인했다.

정비례에서는 한 양을 다른 양으로 나눈 값이 일정하고, 두 양의 대응관계는 y=ax로 나타낼 수 있다.

그다음 그래프의 가로축을 물의 양, 세로축을 무게로 정하고 (1, 1.5), (2, 3), (3, 4.5), (5, 7.5)를 순서대로 표시했다. 점들은 원점을 지나 같은 직선 위에 놓였다. 학생은 “x가 0이면 물의 양이 0이므로 무게도 0이 되어야 한다”고 설명하며, (0, 1.5)에서 시작한 이전 그래프가 정비례 조건과 맞지 않음을 고쳤다.

문장으로 바뀐 문제에서 관계를 다시 읽기

표를 그대로 복사하지 않은 독립 문제도 제시했다. “복사하는 쪽 수를 x장, 사용한 용지의 무게를 yg라 할 때, 4장을 복사하면 20g, 7장을 복사하면 35g이다. x와 y의 관계를 식으로 나타내고 10장의 무게를 구하여라”라는 문장이었다.

학생은 먼저 주어진 대응을 따로 적었다.

(x, y)=(4, 20), (7, 35)

그 후 20÷4=5, 35÷7=5를 계산하고 비례상수를 5로 정했다. 그래서 식을 y=5x로 세웠으며, 10장을 대입해 y=50g을 얻었다. 단순히 숫자 4와 7을 다른 수로 바꾼 문제가 아니라, 표가 문장으로 바뀌고 질문도 식과 값을 함께 요구했지만 같은 대응관계를 찾아 해결한 것이다. 학생은 “용지의 무게는 복사 장수에 5를 곱한 값이므로, 장수가 늘면 같은 비율로 무게가 정해진다”고 풀이 근거를 한 줄로 덧붙였다.

힌트 없이 조건부터 확인한 재현

검증 단계에서는 “한 개에 2.4kg인 상자를 x개 쌓았을 때 전체 무게 y는 얼마인가?”라는 새 조건을 칠판에 적고, 학생이 문제를 읽는 순서까지 스스로 정하게 했다. 학생은 먼저 “x는 상자 수, y는 전체 무게”라고 표시한 뒤, 상자 수와 무게가 정비례한다고 판단했다. 이어 비례상수 2.4를 사용해 y=2.4x를 세웠다.

학생은 임의로 x=3을 넣어 y=7.2kg을 계산한 다음, 반대로 x=5일 때 y=12kg인지 확인했다. 다시 12÷5=2.4가 되어 같은 비례상수가 유지된다고 설명했다. 그래프를 그릴 때는 (0, 0), (1, 2.4), (3, 7.2)를 표시하고, 원점을 지나야 하는 이유도 말했다. “대응값을 y÷x로 나눈 결과가 모두 2.4이므로 정비례 식이고, x=0일 때 y도 0이라 원점을 지난다”는 설명까지 힌트 없이 완성했다.

이처럼 춘천중1수학과외에서는 표의 숫자를 외워 옮기는 데서 멈추지 않고, 문장과 식과 그래프가 같은 정비례 관계를 나타내는지 대응값으로 확인하도록 풀이를 이어 갔다.