칠전동 고1수학과외







칠전동 고1수학과외, 정수해의 경계에서 빠진 경우 찾기
칠전동의 한 학생은 부정방정식 \(2x+y=7\)에서 \(x,y\)가 음이 아닌 정수라는 조건을 보고도 \(x=1,2,3\)만 적었다. \(x=0\)일 때 \(y=7\)이 된다는 사실을 놓친 것이 최초의 오류였다.
계산보다 먼저 허용 범위를 표시하다
식에서 \(y=7-2x\)로 정리한 뒤, \(y\ge0\)이므로 \(7-2x\ge0\), 따라서 \(0\le x\le3\)이라고 범위를 정했다. 수직선에 0과 3을 포함해 표시하자 빠진 경계값이 눈에 들어왔다.
\(x=0,1,2,3\)일 때 \(y=7,5,3,1\)이므로 정수해는 \((0,7),(1,5),(2,3),(3,1)\)이다.
학생은 후보를 계산하기 전에 허용되는 \(x\)의 범위를 말로 확인하는 습관을 들였다. 이 과정을 통해 부정방정식에서는 식을 정리하는 방향보다 각 문자가 가질 수 있는 정수 범위를 먼저 판단해야 한다는 점을 익혔다.
조건이 바뀐 문제에 적용하다
같은 식에 이번에는 \(x\ge1\), \(y\ge0\)라는 조건을 붙였다. 수직선에서 \(x=0\)을 제외하고 \(x=1,2,3\)만 남겼으며, 해는 \((1,5),(2,3),(3,1)\)이라고 정리했다. 단순히 숫자를 바꾼 것이 아니라 경계 포함 여부가 달라지는 상황에서 범위를 다시 판단한 것이다.
새 문항에서는 식으로 되돌아가 확인하다
처음 보는 \(3x+y=10\), \(x,y\)가 음이 아닌 정수인 문항에서는 \(y=10-3x\)로 둔 뒤 \(x=0,1,2,3\)을 얻었다. 마지막에는 각 후보를 원식에 대입해 \(3x+y=10\)이 되는지 확인했고, 경계값 \(x=0\)에서 해 \((0,10)\)도 빠지지 않았음을 검증했다.