칠전동 고2수학과외







교점 하나가 빠진 순간, 넓이 계산이 달라진다
두 곡선 사이의 넓이를 구할 때는 교점을 찾는 것만으로 끝나지 않는다. 교점의 순서를 정리하고, 각 구간에서 어느 함수가 위에 있는지 확인해야 한다. 칠전동과외 수업에서는 이 과정을 구간합과 분할 적분의 연결로 점검했다.
학생 풀이에서 발견한 누락
다음 두 함수의 그래프 사이 넓이를 구해 보자.
\(f(x)=x^3-3x,\quad g(x)=x\)
교점은
\(x^3-3x=x\Rightarrow x^3-4x=0\Rightarrow x(x-2)(x+2)=0 \] 따라서 \(x=-2,0,2\)이다.
처음 풀이에서는 \(-2\)와 \(2\)만 사용해
\[ \int_{-2}^{2}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx \]
로 계산했다. 그러나 \(x=0\)에서도 두 그래프가 만나므로 하나의 구간으로 처리할 수 없다.
구간별 부호와 위아래 관계
차함수를 두면
\[ h(x)=f(x)-g(x)=x^3-4x \]
| 구간 | \(h(x)\)의 부호 | 위에 있는 함수 |
|---|---|---|
| \([-2,0]\) | 양수 | \(f(x)\) |
| \([0,2]\) | 음수 | \(g(x)\) |
따라서 넓이는 구간합으로 나누어 계산해야 한다.
\[ A=\int_{-2}^{0}(f-g)\,dx+\int_{0}^{2}(g-f)\,dx \]
분할 적분으로 최종 확인
함수 \(h(x)=x^3-4x\)는 홀함수이므로 두 부분의 넓이는 같다.
\[ A=2\int_{0}^{2}(4x-x^3)\,dx \] \[ =2\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{2} =2(8-4)=8 \]
따라서 두 곡선 사이의 넓이는 \(8\)이다. 교점 목록에 내부 교점이 빠졌는지 확인하고, 인접한 교점 사이에서 차함수의 부호를 검사하는 것이 분할 적분의 핵심 기준이다.
적분구간을 나누는 판단 기준
여러 교점이 있는 문제에서는 교점들을 오름차순으로 배열한 뒤, 각 구간의 부호를 따로 확인해야 한다. 춘천 지역에서 고3수학과외를 진행할 때도 계산보다 먼저 교점 목록과 함수 차의 부호표를 작성하면 같은 오류를 예방할 수 있다.