온의지구 중1수학과외

온의지구 중1수학과외에서 이어진 정비례 그래프 풀이

물 1분에 3L씩 나오는 수도꼭지에서 흐른 시간과 물의 양을 나타낼 때, 두 양의 관계를 식과 표, 그래프로 나타내고 그래프가 원점을 지나는지 설명하는 문제였다.

한 줄의 식에서 드러난 첫 판단

학생은 시간에 x, 물의 양에 y를 쓰고 공책에 다음 표를 만들었다.

• 시간 x: 1, 2, 3, 4
• 물의 양 y: 3, 6, 9, 12

그 뒤 “y=3x”라고 적은 뒤 좌표평면에 (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)를 표시했다. 하지만 그래프를 그릴 때 눈금을 1칸씩 세지 않고 점들을 대략 연결했으며, “시간이 0일 때도 물은 3L”라고 말하면서 원점 (0, 0)을 지나지 않는다고 판단했다.

풀이가 어긋난 최초의 순간은 계산이 아니라 시간 0분에 대응하는 물의 양을 표에서 분리해 생각한 것이었다. 학생은 첫 표에 0을 넣지 않았고, 수도꼭지를 연 뒤의 값만 보고 그래프의 시작점을 결정했다. 따라서 뒤의 식 y=3x와 그래프 설명이 서로 맞지 않게 되었다.

표의 빈칸을 채우며 원점으로 되돌아가기

학생이 적어 둔 식은 그대로 두고, 시간과 물의 양의 대응을 0분부터 다시 확인했다. 흐른 시간이 0분이면 물이 흐른 양도 0L이므로 표에 (0, 0)을 추가했다.

• x=0이면 y=3×0=0
• x=1이면 y=3×1=3
• x=2이면 y=3×2=6
• x=3이면 y=3×3=9

이번에는 좌표의 가로값을 먼저 읽고 세로값을 읽어, (0, 0), (1, 3), (2, 6), (3, 9)를 표시했다. 점을 자로 연결하자 직선이 원점을 통과했다. 학생은 “두 양의 비가 y÷x=3으로 일정하고, x=0일 때도 y=0이므로 이 관계의 그래프는 원점을 지난다”고 풀이 옆에 직접 적었다. 계산을 다시 하는 대신 처음 빠뜨린 대응값 하나를 바로잡아 전체 설명을 맞춘 것이다.

표가 아닌 문장으로 바뀐 문제

다음 문제에서는 “자전거가 일정한 속력으로 1분에 200m를 간다. 5분 동안 이동한 거리를 나타내라”는 문장이 주어졌다. 이번에는 표가 먼저 제시되지 않았다. 학생은 이동 시간을 x분, 거리를 y m로 정한 뒤 y=200x라고 썼다. 이어 x=0, 1, 2, 3, 4, 5를 대입해 y=0, 200, 400, 600, 800, 1000을 표로 바꾸었다.

문장 속 “5분 동안”이라는 표현 때문에 그래프를 5분 지점에서 시작하려는 순간이 있었지만, 학생은 문제의 관계 전체를 나타내는 것인지 확인하고 0분의 이동 거리도 포함했다. 좌표평면에는 (0,0), (1,200), (2,400), (3,600), (4,800), (5,1000)을 표시했다. 단위가 분과 m로 서로 다르므로 축 이름도 각각 “시간(분)”, “거리(m)”라고 썼다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라 문장을 식과 표, 그래프로 옮긴 뒤 원점 여부를 판단한 것이다.

힌트 없이 다시 세운 관계

수업 끝에 학생은 새로운 상황인 “공책 한 권의 가격이 1500원일 때, 산 권수와 전체 금액의 관계를 나타내라”는 문제를 혼자 풀었다. 권수를 x, 금액을 y원으로 정하고 y=1500x를 세웠다. 표에는 (0,0), (1,1500), (2,3000), (3,4500)을 적었고, 각 대응값을 식에 넣어 1500×0=0, 1500×1=1500, 1500×2=3000이 성립하는지 확인했다.

학생은 그래프를 그린 뒤 “x가 1 늘 때 y는 1500씩 늘며 y÷x가 1500으로 일정하다. 물건을 사지 않은 0권의 금액도 0원이므로 원점을 지난다”고 설명했다. 이어 “표의 첫 값만 보고 시작점을 정하면 안 되고, 두 양의 관계를 x=0까지 식으로 확인해야 한다”고 덧붙였다.