온의지구 고3수학과외
조건부 확률을 잘못 고른 기댓값 문항의 역추적
온의지구와 석사4거리 사이에서 고3 수학을 지도하던 중, 학생이 기댓값 4점 문항의 풀이를 가져왔다. 계산식은 끝까지 자연스러웠지만 답이 틀렸다. 풀이를 처음부터 다시 시키기보다 정답에서 거꾸로 올라가며 어느 줄에서 판단이 달라졌는지 표시하게 했다. 춘천과외 수업에서도 이런 방식은 단순 계산 실수와 개념 선택 오류를 구별하는 데 유용하다.
정답에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길
문제의 상황은 다음과 같았다. 사건 B가 일어날 확률은 1/2이고, B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 확률은 3/4, B가 일어나지 않았을 때 A가 일어날 확률은 1/4이다. A가 일어나면 4점을 얻고, 일어나지 않으면 2점을 잃는다. 이때 점수의 기댓값을 구하는 문제였다.
학생은 처음에 사건 A의 확률을 곧바로 3/4로 적었다. 문제에서 눈에 잘 띄는 조건부확률 P(A|B)=3/4를 전체 사건 A의 확률처럼 사용한 것이다. 그 뒤의 계산은 일관되었다.
E(X)=4×3/4－2×1/4=5/2
그러나 이 문항에서 먼저 구해야 하는 것은 P(A|B)가 아니라 전체 표본에서의 P(A)였다. B인 경우와 B가 아닌 경우를 나누면
P(A)=1/2×3/4＋1/2×1/4=1/2
따라서 실제 기댓값은
E(X)=4×1/2－2×1/2=1
이다. 학생이 사용하지 않은 정보는 ‘B가 일어나지 않았을 때 A가 일어날 확률 1/4’였다. 역추적 결과 계산을 틀린 것이 아니라, 첫 줄에서 조건부확률을 전체 확률로 선택한 것이 최초 오류였다. 기댓값에서는 값에 해당하는 점수와 그 값이 나올 확률을 대응시키는 일이 먼저라는 점을 풀이 여백에 적게 했다.
첫 식의 근거를 바꾸다
교정은 풀이 전체를 다시 쓰는 대신 첫 확률 선택만 고치는 데 한정했다. 학생은 새 문제를 읽을 때마다 먼저 ‘이 확률은 무엇을 조건으로 한 값인가’를 표시하고, 조건이 있는 두 경우를 한 표에 나누었다.
- B: 확률 1/2, A의 확률 3/4
- B가 아님: 확률 1/2, A의 확률 1/4
그 다음 각 행의 확률을 곱해 A의 전체 확률을 만든 뒤, 점수와 분리해서 기댓값을 계산했다. 경계 확인을 위해 B의 확률을 0이라고 가정해 보기도 했다. 그러면 B인 행은 사라지고 P(A)는 1/4가 되어야 한다. 학생은 이 값을 원래 식에 대입해 조건부확률 3/4를 그대로 쓰면 안 된다는 사실을 확인했다. 한 줄의 판단을 고친 뒤에야 뒤 계산이 짧아졌다.
조건이 뒤섞인 문제에서 유지된 선택
며칠 뒤 해설을 가린 채, 이전 문제와 구조가 다른 상황을 제시했다. 광고에 노출될 사건을 C, 상품이 팔리는 사건을 S라 하고, P(C)=2/5, P(S|C)=3/5, P(S|C가 아님)=1/5라고 하였다. 판매되면 순이익 6, 판매되지 않으면 3의 손실이 생길 때 순이익의 기댓값을 구하는 문제였다.
이번에는 조건부확률이 앞에 제시되지 않았는데도 학생이 먼저 C와 C가 아닌 경우를 표로 만들었다.
P(S)=2/5×3/5＋3/5×1/5=9/25
성공과 실패의 확률을 순이익과 섞지 않고 따로 기록한 뒤
E=6×9/25－3×16/25=6/25
를 얻었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 조건의 위치와 질문의 표현을 바꾼 상황에서도 ‘조건을 제거해 전체 확률을 만든다’는 판단이 먼저 나온 것이다. 풀이 끝에는 사용하지 않은 정보가 있는지 표시하게 했고, 이 문제에서는 모든 조건이 표에 반영되었음을 확인했다.
최종 검증에서는 새로운 수치의 문제를 추가 힌트 없이 풀게 했다. 학생은 답부터 계산하지 않고 사건을 나눈 근거를 설명했으며, 원래 조건과 변형 조건에 간단한 값을 대입해 가중평균의 방향도 점검했다. 특히 조건부확률 하나만으로 전체 확률을 정하지 않고, 빠진 조건이 있는지 먼저 찾았다. 춘천고3수학과외 학습에서도 정답률보다 이 첫 선택이 반복되는지를 확인해야 하며, 춘천고3수학과외에서 기댓값을 다룰 때는 값·확률·조건을 세 줄로 분리하는 습관이 오류 추적의 기준이 된다.