온의지구 고2수학과외







마지막 답이 맞는지부터 다시 확인한 순간
그러나 조건은 ‘같은 선택을 허용하되 연속 제한이 있는 배열’이었다.
문제의 조건을 정확히 읽기
문자 A, B, C를 사용하여 길이 4의 문자열을 만들 때, 서로 이웃한 문자가 같지 않도록 하는 경우의 수를 구하자.
첫 자리는 3가지가 가능하다. 두 번째 자리부터는 바로 앞 문자와 같은 문자를 사용할 수 없으므로 매번 2가지씩 선택할 수 있다.
\[ 3\times2\times2\times2=24 \]
처음 계산이 틀린 이유
학생의 \(3^4\) 계산은 각 자리를 독립적으로 선택한 것이다. 하지만 두 번째 자리의 후보는 첫 번째 선택에 따라 줄어든다. 따라서 같은 수를 네 번 곱할 수 없다.
조건을 한 단계 바꾸어 보기
이번에는 같은 문자가 이웃해도 되지만, 같은 문자가 세 번 연속 나오는 것은 금지한다고 하자. 전체 배열은 \(3^4=81\)가지다.
금지되는 배열 세기
첫 세 자리가 모두 같은 경우는 문자를 고르는 3가지와 네 번째 자리의 3가지 선택으로 \(3\times3=9\)가지다. 마지막 세 자리가 모두 같은 경우도 \(9\)가지다.
두 조건을 동시에 만족하는 경우, 네 자리가 모두 같은 배열 3가지는 중복으로 세어졌으므로 한 번 빼야 한다.
\[ 9+9-3=15 \]
따라서 조건을 만족하는 배열은
\[ 81-15=66 \]
두 풀이를 나란히 비교한 결론
이웃한 문자의 중복을 금지하면 \(24\)가지이고, 세 번 연속만 금지하면 \(66\)가지이다. 제한이 약해졌으므로 두 번째 경우의 수가 더 커지는 것도 답을 검증하는 근거가 된다.
핵심은 ‘같은 선택을 허용한다’는 말만 보고 독립적으로 곱하지 않고, 연속 제한이 어느 자리의 선택을 줄이는지 먼저 확인하는 것이다.
특수한 예와 일반적인 성질을 나누기
쉽게 계산되는 숫자로 확인한 결과가 모든 경우에 성립한다고 볼 수는 없습니다. 현재 단원에서 숫자 예시로 이해한 부분과 조건을 근거로 설명한 부분을 구분해 보세요. 일반적인 설명이 어려운 지점은 어떤 성질이 필요한지 수업에서 질문하는 출발점이 됩니다.
계산이 길어질 때 식을 다시 살피기
고2 문제에서 전개가 길어지면 계산을 계속하기 전에 묶을 수 있는 항이나 이미 주어진 관계가 있는지 살펴보세요. 무조건 전개를 피하라는 뜻은 아닙니다. 같은 조건을 더 적은 계산으로 표현할 수 있는지 확인하는 습관을 현재 단원의 예제로 연습할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
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