약사동 중3수학과외

약사동 중3수학과외에서 확인한 제한된 범위의 최댓값

약사동과외 수업에서 한 학생이 이차함수의 최댓값을 구한 풀이를 가져왔다. 문제는 y=-(x-2)²+5에서 -1≤x≤4일 때 y의 최댓값과 최솟값을 구하는 것이었다. 약사동중3수학과외에서 중요한 것은 식의 모양을 외우는 일이 아니라, 제한된 x의 범위 안에서 식과 그래프가 가리키는 값이 같은지 확인하는 일이었다.

처음 적힌 풀이에서 놓친 한 지점

학생은 먼저 식을 보고 다음처럼 정리했다.

“y=-(x-2)²+5이므로 꼭짓점은 (2, 5)이다. 따라서 최댓값은 5이고, 최솟값은 x=4에서 y=-3이다.”

여기서 x=4를 대입한 계산은 맞았다.

-(4-2)²+5=-4+5=1

따라서 실제로 학생이 적은 최솟값 -3은 계산 결과부터 틀렸지만, 그보다 먼저 살펴볼 오류는 제한된 구간에서 어느 위치를 비교해야 하는지 확인하지 않고 그래프의 모양만으로 값을 단정한 것이었다. 특히 아래로 열린 그래프라는 사실만 보고 꼭짓점의 5를 곧바로 최댓값으로 받아들였고, 최솟값을 판단할 때도 끝점 값을 직접 비교하지 않았다.

식과 그래프의 같은 위치를 맞춰 보기

풀이를 다시 쓸 때는 그래프를 새로 그리기보다 식의 각 x값을 그래프의 좌표와 대응시켰다. 제한된 범위의 양 끝과 꼭짓점의 x좌표를 먼저 적었다.

• x=-1: y=-(-1-2)²+5=-9+5=-4
• x=2: y=-(2-2)²+5=5
• x=4: y=-(4-2)²+5=1

그래프에서 x=2일 때 가장 높은 점이 (2, 5)이고, 구간의 양 끝은 (-1, -4), (4, 1)에 해당한다. 따라서 그래프의 모양을 보는 것과 식에 값을 대입하는 것은 서로 다른 판단이 아니라 같은 좌표를 확인하는 두 표현이었다. 이 구간 안에서는 y의 최댓값이 5, 최솟값이 -4이다.

교정은 한 가지였다. 그래프의 모양만 보고 결론을 내리지 않고, 그래프에서 확인한 후보의 x좌표를 식에 직접 대입해 같은 좌표인지 확인하는 것이다. 이미 알고 있던 꼭짓점의 위치와 대입 계산은 그대로 사용했다.

표로 바꾸었을 때도 같은 기준 적용하기

며칠 뒤에는 식이 크게 보이지 않고 다음 표로만 제시된 문제를 풀었다.

x	-2	0	3	5
y	1	6	2	-3

단, 이 표는 -2≤x≤5에서 같은 이차함수의 값을 나타내며, 그래프에서는 x=0일 때 가장 높은 점, x=5일 때 가장 낮은 점으로 표시되어 있었다. 학생은 표의 숫자만 훑고 “가장 큰 수 6, 가장 작은 수 -3”이라고 답했다. 이번에는 답을 적기 전에 그래프의 해당 위치와 표의 열을 맞추었다. x=0의 점은 (0, 6), x=5의 점은 (5, -3)이므로 표와 그래프가 가리키는 값이 일치했다. 표현이 식에서 표와 그래프로 바뀌었지만, 제한된 x값 안에서 좌표를 비교한다는 기준은 변하지 않았다.

힌트 없이 다시 확인한 문제

마지막에는 다음 문제가 제시되었다.

함수 y=(x+1)²-4의 그래프 중 -3≤x≤2인 부분에서 y의 최댓값과 최솟값을 구하고, 선택한 좌표가 식과 맞는지 설명하시오.

학생은 도움 없이 먼저 그래프의 가장 낮은 위치가 x=-1임을 찾고, 양 끝 x=-3과 x=2를 후보로 정했다.

• x=-3일 때 y=(-2)²-4=0
• x=-1일 때 y=0²-4=-4
• x=2일 때 y=3²-4=5

이후 “구간 안에서 가장 낮은 점은 (-1, -4)이므로 최솟값은 -4이고, 양 끝 중 y값이 더 큰 (2, 5)가 최댓값이다”라고 설명했다. 마지막으로 세 좌표를 식에 다시 대입해 각각 0, -4, 5가 나오는지 확인했다. 식·표·그래프 중 어떤 표현을 만나도 먼저 구간 안의 후보 위치를 정하고, 그 위치의 값을 식과 대응시키는 판단이 스스로 재현된 장면이었다.