약사동 중1수학과외
표의 대응값을 식과 그래프로 연결한 정비례 풀이
약사동과외 수업에서 학생은 대룡중학교가 포함된 생활권의 학습 자료를 바탕으로 정비례 관계를 표현하는 문제를 풀었다. 문제에는 물의 양에 따라 컵의 개수가 일정한 비율로 늘어나는 표가 제시되어 있었다. 물의 양을 x, 컵의 개수를 y라고 할 때, 표의 대응값을 식과 그래프로 나타내고 문장으로 설명하는 문제였다.
표에는 다음과 같은 값이 있었다.
- x가 2일 때 y는 6
- x가 4일 때 y는 12
- x가 7일 때 y는 21
학생은 표를 보자마자 교과서에서 보았던 모양을 따라 y=x+4라고 적었다. 2에 4를 더하면 6이고, 4에 4를 더하면 8이므로 세 번째 값까지 확인하기 전에는 식이 그럴듯해 보인다는 반응이었다. 이때 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 대응값 사이의 일정한 비율을 확인하지 않고, 한 행의 차이만 보고 식을 정한 것이었다.
한 행의 차이가 아니라 대응값의 비율을 확인하기
학생이 적은 식을 바로 지우기보다 표의 각 열을 다시 살폈다. x와 y가 함께 변하는 정비례 관계에서는 y를 x로 나눈 값이 일정해야 한다. 그래서 표 옆에 다음처럼 계산을 나란히 적었다.
- 6÷2=3
- 12÷4=3
- 21÷7=3
세 경우 모두 3이므로 y는 x의 3배라고 판단했다. 학생은 y=3x를 쓰고, 표에서 x=4일 때 3×4=12, x=7일 때 3×7=21이 되는지도 확인했다. 처음 식의 모양을 억지로 고치는 대신, 표의 두 양이 어떤 방식으로 대응하는지 먼저 읽은 뒤 식으로 옮긴 것이다.
이어서 같은 관계를 말로 바꾸었다. “물의 양 x가 1만큼 늘어날 때 컵의 개수 y는 항상 3개씩 대응하며, 컵의 개수는 물의 양의 3배이다.” 학생은 식의 숫자 3이 표의 각 대응값을 나눈 결과라는 점도 문장에 덧붙였다.
문장과 좌표로 바꿔도 같은 관계인가
다음 문제에서는 표가 사라지고 “한 묶음에 연필 4자루가 들어 있다. 묶음의 수를 x, 연필의 수를 y라 하자”라는 문장만 주어졌다. 학생은 곧바로 숫자를 계산하지 않고, 먼저 두 양의 뜻을 적었다.
- x: 묶음의 수
- y: 연필의 수
그 뒤 묶음이 1개일 때 (1, 4), 2개일 때 (2, 8), 3개일 때 (3, 12)를 표에 만들고, y=4x라고 정리했다. 좌표를 찍을 때도 x값을 가로축, y값을 세로축에 놓아 (1,4), (2,8), (3,12)의 순서를 지켰다. 그래프의 점을 먼저 찍고 식을 나중에 확인하자, 표·문장·식·그래프가 모두 같은 대응을 나타내고 있음을 스스로 설명할 수 있었다.
문장의 ‘한 묶음에 4자루’라는 조건은 x와 y의 대응을 정하는 정보이므로, 숫자를 계산하기 전에 두 양의 뜻과 순서를 먼저 정해야 한다.
변형된 질문에서는 “연필이 20자루라면 몇 묶음인가?”라고 물었다. 학생은 y=4x에 20을 대입해 20=4x를 만들고 x=5를 구했다. 이후 5묶음에 4자루씩이면 4×5=20이므로 조건에 맞는다고 확인했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 묶음 수에서 연필 수를 찾던 방향을 연필 수에서 묶음 수를 찾는 방향으로 바꾸어 같은 정비례 관계를 적용한 장면이었다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
단원평가 전에는 “시간 x분 동안 일정한 속도로 물이 yL 채워진다. 3분에 9L가 채워질 때 8분의 물의 양을 구하고, 관계를 그래프로 나타내라”는 새 문제를 제시했다. 학생은 도움 없이 먼저 x와 y의 뜻을 적고, 주어진 대응 (3,9)에서 9÷3=3을 계산했다. 따라서 y=3x라고 정한 뒤 x=8을 넣어 y=24를 구했다.
학생은 그래프에 원점과 (3,9), (8,24)를 표시하고, 두 양의 비가 3으로 일정하므로 이 식이 정비례 관계를 나타낸다고 설명했다. 마지막으로 24÷8=3, 9÷3=3을 다시 계산해 같은 비율임을 확인했다. 이전처럼 표의 한 줄 모양을 복사하지 않고, 조건에서 대응하는 두 양을 정한 뒤 비율을 찾고, 식과 그래프를 차례로 연결한 것이다. 약사동중1수학과외에서 확인한 핵심은 정답 자체보다 표현이 바뀌어도 대응값과 원래 조건을 끝까지 대조하는 풀이 과정이었다.