교동 중3수학과외

교동 중3수학과외, 그래프의 가장 높은 점을 식과 연결하기

교동과외 수업에서 유봉여자중학교가 포함된 생활권의 중3 문제를 시간 제한 안에 풀어 보았습니다.

두 표현을 나란히 놓았을 때 생긴 착각

문제에는 다음 식과 그래프가 함께 제시되었습니다.

함수 y=-x²+4x+1의 그래프에서 최댓값과 그때의 x값을 구하여라.

학생은 먼저 식을 보고 종이에 다음처럼 적었습니다.

• 계수 -1이므로 아래로 열린 포물선이다.
• 그래프의 가장 높은 점은 (2, 5)로 보인다.
• 따라서 최댓값은 5이다.

이어서 그래프 옆에 표시된 점의 위치를 보며 “꼭대기가 x=2보다 조금 오른쪽인 것 같다”고 말했습니다. 식과 그래프를 나란히 확인하던 중, 식에서 계산한 값과 그래프에서 읽은 좌표가 서로 맞지 않는다는 점이 드러났습니다. 그래프 모양만 먼저 보고 최고점의 위치를 단정한 것이 문제의 출발점이었습니다.

가장 먼저 고친 한 가지

오답이 나온 뒤 계산을 전부 다시 시키지 않고, 그래프의 모양만으로 좌표를 정하지 않도록 했습니다. 먼저 식에 x=2를 직접 대입했습니다.

y=-(2)²+4×2+1=-4+8+1=5

따라서 그래프에 표시된 x=2에서의 점은 (2, 5)입니다. 이어서 꼭대기의 좌우 위치를 식의 대칭적인 값으로 확인했습니다.

• x=1일 때 y=-1+4+1=4
• x=2일 때 y=5
• x=3일 때 y=-9+12+1=4

x=1과 x=3에서 값이 같고 가운데 x=2에서 값이 더 크므로, 그래프에서 가장 높은 점은 (2, 5)라고 판단할 수 있습니다. 여기서 고친 행동은 하나였습니다. 그래프의 모양을 보고 좌표를 먼저 단정하지 않고, 식에 좌표를 대입해 그래프의 위치와 직접 대응시키는 것입니다. 이미 맞게 계산한 값은 그대로 사용했습니다.

표로 바꾸어도 같은 기준을 찾기

다음에는 같은 내용을 식이나 그림이 아닌 표로 제시했습니다. 표에는 다음 값만 주어졌습니다.

x	-1	0	1	2	3	4	5
y	-9	-3	1	3	3	1	-3

이번에는 그래프를 그려 모양을 추측하는 대신, 표의 y값을 직접 비교했습니다. 가장 큰 값은 3이고 x=2와 x=3에서 나타납니다. 따라서 이 표에서의 최댓값은 3이며, 그때의 x값은 2와 3입니다. 학생은 “가장 높은 점 하나”라는 그림의 인상에 기대지 않고, 제시된 표현에서 실제 값이 가장 큰 곳을 찾아냈습니다.

반대로 아래와 같이 표가 바뀌었습니다.

x	-2	-1	0	1	2
y	6	2	0	2	6

학생은 최솟값을 묻는 질문에 y=0, x=0이라고 답했습니다. 같은 세부개념 안에서 질문 방향만 달라졌지만, 이번에는 표의 가장 작은 수를 직접 고른 뒤 해당 x값을 함께 확인한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

마지막에는 식과 그래프를 한꺼번에 주지 않고 다음 문제만 제시했습니다.

어떤 함수의 그래프에서 x=-1일 때 y=4, x=0일 때 y=1, x=1일 때 y=4, x=2일 때 y=9이다. 주어진 점들 가운데 최솟값을 나타내는 점을 고르고, 그 값을 확인하여라.

학생은 “y값을 비교해야 하므로 4, 1, 4, 9 중 가장 작은 1을 찾는다. 그 값은 x=0에서 나타나므로 최솟값을 나타내는 점은 (0, 1)이다”라고 설명했습니다. 이어서 표에 x=0을 다시 대입해 y=1이 기록되어 있음을 확인했습니다.

처음처럼 그래프의 기울기나 모양을 막연히 읽지 않고, 최댓값·최솟값에 해당하는 값과 그 값이 나타나는 좌표를 직접 대응했습니다. 교동중3수학과외 수업에서도 이처럼 표현이 식에서 표나 그래프로 바뀌어도, 가장 큰 값 또는 가장 작은 값과 그 위치를 함께 확인하는 과정을 기준으로 삼았습니다.