교동 고2수학과외







세 실근을 고르는 마지막 검산
학생은 “극대값과 극소값의 부호가 서로 반대이면 세 실근이 가능하다”는 조건을 고르기 직전, 그래프의 양끝 방향을 다시 확인했다. 삼차함수의 최고차항 계수가 양수라면 왼쪽 끝에서는 아래로, 오른쪽 끝에서는 위로 향한다.
극값 부호와 x축 교점
극대값이 양수이고 극소값이 음수이면 그래프는 x축을 세 번 지난다. 따라서 서로 다른 세 실근을 가지기 위한 조건은
극대값 > 0, 극소값 < 0
이다. 두 값 중 하나가 0이면 접하는 교점이 생겨 중근을 포함하므로 서로 다른 세 실근은 아니다.
하나의 식으로 조건 확인하기
다음 함수를 살펴보자.
f(x)=x3-3x+a
미분으로 극값 구하기
f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)이므로 x=-1에서 극대, x=1에서 극소를 갖는다.
극대값과 극소값은 각각
f(-1)=a+2, f(1)=a-2
이다. 세 실근을 가지려면
a+2>0, a-2<0
이어야 하므로
-2<a<2
를 얻는다.
경계값과 바깥 구간
a=2이면 f(1)=0이 되어 x=1에서 접하고, 다른 한 근이 존재한다. a=-2인 경우에도 마찬가지로 중근이 생긴다. 따라서 이때는 서로 다른 실근이 2개이다.
a>2 또는 a<-2이면 극대와 극소가 모두 같은 쪽에 놓여 실근은 1개이다.
오답 선택지를 그래프로 판별하기
학생이 처음에는 “극대값과 극소값이 모두 양수여야 그래프가 x축을 지난다”고 판단했지만, 양끝 거동을 함께 그리자 오류가 드러났다. 극값이 모두 양수이면 그래프는 왼쪽에서 한 번만 x축을 통과한다.
판단 순서 정리
- 최고차항의 부호로 양끝 방향을 확인한다.
- 도함수로 극대·극소의 위치를 구한다.
- 극대값과 극소값의 부호를 비교한다.
- 경계값에서는 중근 여부를 확인한다.
이처럼 방정식의 실근 개수는 근의 공식을 직접 적용하지 않아도 그래프의 구조만으로 분류할 수 있다. 교동과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산보다 극값의 부호와 경계 조건을 먼저 점검하면 오답 선택지를 빠르게 줄일 수 있다.
특수한 예와 일반적인 성질을 나누기
쉽게 계산되는 숫자로 확인한 결과가 모든 경우에 성립한다고 볼 수는 없습니다. 현재 단원에서 숫자 예시로 이해한 부분과 조건을 근거로 설명한 부분을 구분해 보세요. 일반적인 설명이 어려운 지점은 어떤 성질이 필요한지 수업에서 질문하는 출발점이 됩니다.
풀이의 마지막 문장을 남기기
값을 계산한 뒤 문제에서 묻는 대상에 대한 결론을 한 문장으로 적어 보세요. 중간에 구한 보조 값이 최종 답으로 남아 있지는 않은지 확인할 수 있습니다. 여러 대상을 차례로 구하는 고2 문제에서는 마지막 질문으로 돌아가는 습관이 필요합니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
고등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 고등 | 33~50만 원 | 30~46만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
수업 준비와 비용·보강에 관한 안내도 함께 확인해 주세요.
학년별 개념과 연습 함께 보기
이 지역의 학습 예시와 함께 현재 학년의 공부 방법을 살펴보세요.
고2 수학 학습 가이드 →