교동 고3수학과외

표와 식이 바뀌어도 독립을 판별하는 법

문제에는 전체 20명의 자료가 표로 제시되어 있었고, 사건 \(A\)는 “짝수 번호를 뽑는 것”, 사건 \(B\)는 “여학생을 뽑는 것”으로 정의되어 있었다. 표에서 짝수 번호는 10명, 여학생은 12명, 짝수 번호이면서 여학생인 학생은 6명이었다.

학생은 곧바로 \(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac35\), \(P(A\cap B)=\frac3{10}\)을 적었다. 여기까지는 정확했지만, 앞에서 풀었던 조건부확률 문제의 순서를 그대로 따라가며 \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)라고 썼다. 분모를 사건 \(B\)가 아니라 \(A\)로 잡은 것이 처음 어긋난 지점이었다. 표의 교점 개수는 제대로 읽고도, 표현이 식으로 바뀌자 앞 문제의 계산 절차를 복사한 셈이었다.

표의 교점을 확률 관계로 옮기기

학생에게 해설을 바로 보여 주지 않고, 표와 식을 나란히 놓게 했다. 먼저 “조건이 붙은 확률인가, 독립 여부를 묻는가”를 구분한 뒤, 교점 6명을 조건 사건 \(B\)의 12명 안에서 세어야 한다고 표시했다. 따라서

\(P(A\mid B)=\frac{6}{12}=\frac12\)

가 된다. 한편 \(P(A)=\frac12\)이므로 \(P(A\mid B)=P(A)\)가 성립한다. 곱셈으로 확인하면

\(P(A\cap B)=\frac3{10}=\frac12\cdot\frac35=P(A)P(B)\)

이다. 학생은 두 표현에서 공통으로 남는 관계가 “교점 확률이 두 주변 확률의 곱과 같은가”라는 점을 한 줄로 연결했다. 단순히 공식을 외운 것이 아니라, 표의 교집합을 식의 \(P(A\cap B)\)로 옮긴 것이다. 교동과외에서 이 장면을 복기할 때도 계산 결과보다 표에서 어느 칸을 분모로 옮겼는지를 먼저 확인하게 했다.

조건을 하나 덜어 냈을 때

자료 형식을 바꾼 독립 적용에서는 표 대신 다음과 같이 주어졌다. 주머니에 빨간 공 4개와 파란 공 6개가 있고, 첫 번째 공을 복원한 뒤 두 번째 공을 뽑는다. 사건 \(C\)를 “첫 번째 공이 빨간색”, 사건 \(D\)를 “두 번째 공이 빨간색”이라고 할 때 \(C\)와 \(D\)의 독립 여부를 판단하는 문제였다.

학생은 이번에는 앞 문제의 숫자를 기억해 답하지 않고, 복원 조건이 각 시행의 표본공간을 그대로 유지하는지부터 살폈다. \(P(C)=\frac4{10}\), \(P(D)=\frac4{10}\)이고, 복원으로 인해 두 번째 결과의 빨간 공 확률이 첫 번째 결과에 따라 달라지지 않으므로

\(P(C\cap D)=\frac4{10}\cdot\frac4{10}=\frac4{25}\)

라고 구성했다. 이어 “복원하지 않는다”로 조건 하나를 뺀 변형을 제시하자, 학생은 더 이상 독립이라고 말하지 않았다. 첫 번째가 빨간색이면 두 번째 빨간 공은 3개, 전체는 9개이므로 \(P(D\mid C)=\frac13\)이고 \(P(D)=\frac4{10}\)과 다르다고 설명했다. 조건 하나가 사라졌을 때 결론이 유지되지 않는 이유를 분모와 표본공간의 변화로 추적한 것이다.

보기 없이 관계를 다시 세우다

문항 순서를 섞은 직접답형에서는 “\(P(E)=0.4\), \(P(F)=0.7\), \(P(E\cap F)=0.28\)일 때 두 사건의 관계를 쓰라”는 문제가 나왔다. 학생은 보기나 유형명을 찾지 않고 \(0.4\times0.7=0.28\)을 먼저 계산한 뒤, 교점 확률과 같으므로 독립이라고 답했다. 마지막으로 \(P(F\mid E)=\frac{0.28}{0.4}=0.7\)까지 확인해 두 관계가 일치함을 설명했다.

식·표·문장 표현이 달라져도 학생의 첫 행동은 조건 사건과 교점을 분리하고, 독립 판단의 기준을 \(P(E\cap F)=P(E)P(F)\)로 복원하는 쪽으로 바뀌었다. 교동고3수학과외 학습 기록에는 정답만 남기지 않고 “분모는 조건 사건의 확률인가?”라는 점검 문장을 함께 적었다. 새로운 자료에서 그 문장이 스스로 등장했다는 점이, 표현이 바뀌어도 판단 기준을 유지했다는 최종 증거였다.