연지동 중3수학과외

연지동 중3수학과외에서 다룬 넓이 식의 전개

연지동과외 수업에서 단원평가 직전 학생의 풀이를 함께 살펴보았습니다. 가야벽산아파트와 부산광역시립부전도서관이 있는 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생이라면, 문장으로 제시된 넓이 관계를 식으로 옮긴 뒤 곱셈식으로 정확히 전개하는 과정이 자주 등장합니다.

넓이 그림에서 학생이 먼저 적은 식

문제에는 직사각형의 가로가 x+4, 세로가 x-2이고, 두 길이는 각각 1cm씩 달라질 수 있다고 제시되어 있었습니다. 학생은 그림 옆에 다음과 같이 적었습니다.

넓이 = (x+4)(x-2)
= x²+4x-2x-2
= x²+2x-2

일반적인 경우에는 두 이항식의 모든 항을 곱해야 하므로, 이 계산 자체는 맞는 방향이었습니다. 학생은 각 변에 표시된 x, 4, -2를 읽고 항을 나누어 곱했으며, 마지막에 4x와 -2x를 동류항으로 묶었습니다.

그런데 문제의 다음 조건에서 가로가 x-4로 바뀌었습니다. 학생은 앞의 식을 거의 그대로 옮겨 다음과 같이 썼습니다.

넓이 = (x-4)(x-2)
= x²+4x-2x-2

이때 결과가 틀어진 것은 마지막 계산에서 부호를 잘못 더한 것이 아니었습니다. 그보다 먼저, 첫 번째 괄호의 4가 -4로 바뀐 사실을 확인하지 않고 이전 전개식을 그대로 사용한 것이 최초의 판단 오류였습니다.

바뀐 항 하나만 다시 확인하기

교정에서는 풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 조건이 달라진 항 하나만 직접 고쳤습니다. 두 괄호의 항을 순서대로 빠짐없이 대응시키도록 다음 네 곱을 먼저 적었습니다.

• x×x = x²
• x×(-2) = -2x
• (-4)×x = -4x
• (-4)×(-2) = 8

따라서 넓이는

(x-4)(x-2)=x²-2x-4x+8=x²-6x+8

가 됩니다. 이미 알고 있던 동류항 정리 과정은 그대로 두고, 달라진 조건에 맞춰 (-4)×x와 (-4)×(-2)만 다시 판단한 것입니다. 괄호 속 부호가 바뀌면 그 항이 포함된 곱 두 개가 함께 달라진다는 점이 핵심이었습니다.

식의 모양을 바꾼 독립 문제

다음에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 그림의 표현을 바꾸었습니다. 직사각형을 두 부분으로 나누어 한 부분의 가로가 y+3, 다른 부분의 가로가 y-1이고 두 부분의 세로가 공통으로 y+2인 상황을 제시했습니다. 전체 넓이를 한 번에 나타내라는 문제였습니다.

학생은 먼저 두 부분의 가로를 더해

(y+3+y-1)(y+2)=(2y+2)(y+2)

라고 적었습니다. 여기서도 항별 곱을 생략하지 않고

• 2y×y = 2y²
• 2y×2 = 4y
• 2×y = 2y
• 2×2 = 4

를 기록하여

2y²+4y+2y+4=2y²+6y+4

를 얻었습니다. 앞 문제와 달리 넓이를 두 조각의 합으로 읽었지만, 마지막에는 두 이항식의 모든 항을 곱하고 동류항만 정리한다는 같은 기준을 적용했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에는 다음 문제를 별도 안내 없이 제시했습니다. 한 직사각형의 가로는 t-5, 세로는 t+1일 때 넓이를 전개하라는 문제였습니다. 학생은 먼저 부호를 표시하고

(t-5)(t+1)
=t²+t-5t-5
=t²-4t-5

라고 풀이했습니다. 이어서 t=6을 대입해 원래 곱과 전개한 식을 비교했습니다.

• 원래 식: (6-5)(6+1)=1×7=7
• 전개한 식: 6²-4×6-5=36-24-5=7

학생은 “첫 번째 괄호의 -5가 들어간 두 곱의 부호를 먼저 확인했고, 마지막에는 같은 값을 대입해 전개가 넓이식을 보존하는지 확인했다”고 설명했습니다. 연지동중3수학과외에서도 이처럼 조건이 바뀐 항을 먼저 찾고, 모든 항을 곱한 뒤, 대입으로 전개 전후를 확인하는 흐름을 한 가지 넓이식 안에서 반복할 수 있습니다.