연지동 고등수학과외
연지동 고등수학과외에서는 경우의 수를 계산하기 전에 학생이 어떤 선택을 한 번의 단계로 보는지부터 확인한다. 가야벽산아파트와 서면센트럴스타 인근에서 수업하는 학생도 문제의 숫자를 곧바로 곱하기보다, 상황이 서로 나뉘는지와 선택이 연이어 일어나는지를 말로 설명한 뒤 식을 세우도록 연습한다. 이번에는 14개 자리를 이용한 합의 법칙 문제에서 처음 생긴 오류를 추적했다.
14개 자리 문제에서 멈춘 순간
문제는 14개의 자리를 여러 경우로 나누어 조건에 맞는 대상을 세는 유형이었다. 학생은 “첫 번째 경우와 두 번째 경우는 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙을 쓴다”고 정확히 말한 뒤 계산을 시작했다. 그런데 각 경우 안에 들어 있는 선택을 정리하면서, 한 자리에서 가능한 선택 수를 다른 선택 수와 곱해야 한다고 판단했다.
첫 오류는 경우를 나눈 직후가 아니라, 한 가지 경우의 선택 단계가 실제로 하나뿐인데도 곱셈을 붙인 순간 발생했다. 예를 들어 해당 경우에서 14개 자리 중 조건을 만족하는 자리를 하나 고르는 상황이라면 가능한 선택은 14가지다. 그런데 학생은 14와 또 다른 수를 곱해, 한 번의 선택을 두 단계의 선택처럼 바꾸었다. 합의 법칙을 쓸지 여부는 맞혔지만, 곱의 법칙이 들어갈 시점을 잘못 처리한 것이다.
합은 ‘경우와 경우’를 합치고, 곱은 ‘한 경우 안에서 이어지는 선택’을 연결한다.
식보다 먼저 선택 단위를 복원하기
풀이 전체를 다시 베끼게 하지 않고, 틀린 한 줄 앞에 선택 단위를 적게 했다. “이 경우에서 첫째로 고르는 것은 무엇인가?”, “그다음에 반드시 고르는 것이 남아 있는가?”를 묻자 학생은 14개 자리 중 하나를 정하는 것 외에 별도 선택이 없다는 사실을 확인했다. 따라서 그 경우의 수는 14이며, 다른 조건의 경우의 수와는 더해야 한다.
이후 같은 유형의 짧은 예를 제시했다. 빨간 공 또는 파란 공 중 하나를 한 번 고르는 상황에서 빨간 공이 5개, 파란 공이 3개라면 전체는 5+3이다. 학생이 5×3을 적으려 하자, 두 색의 공을 동시에 하나씩 고르는 문제인지 질문하게 했다. 동시에 고르는 단계가 없으므로 곱셈을 쓰면 서로 다른 선택쌍까지 만들어 과대계산된다는 점을 말로 설명한 뒤 식을 고쳤다.
14개 자리를 다시 판단하는 훈련
다음에는 숫자를 14가 아닌 9로 바꾸고, 선택 조건도 달리한 새 문제를 풀이 방법 제한 없이 제시했다. 학생은 먼저 “서로 겹치지 않는 경우인가”를 확인하고, 각 경우에 실제 선택 단계가 몇 번인지 세었다. 한 경우는 자리를 하나 고르는 문제라 9를 그대로 사용했고, 다른 경우는 자리를 고른 뒤 숫자를 정하는 두 단계라서 자리의 수와 숫자의 수를 곱했다. 같은 합의 법칙 안에서도 경우별로 곱셈의 유무가 달라질 수 있음을 혼자 구분했다.
마지막에는 선택 단계가 하나뿐인 반례를 다시 대입했다. 자리 하나를 고르는 문제에서 14×14를 사용하면, 첫 번째 자리와 두 번째 자리를 따로 고른 것처럼 같은 선택을 여러 쌍으로 세게 된다. 실제 대상은 14개인데 계산값은 196이 되어 범위를 크게 넘는다. 가능한 대상의 목록을 일부 직접 적어 보면서 곱셈 결과가 현실적인 개수인지 비교하자 오류가 분명해졌다.
수업에서 확인하는 풀이 습관
- 경우를 나누기 전에 서로 겹치는 선택이 없는지 확인한다.
- 각 경우 안에서 선택이 한 번인지, 연속해서 두 번 이상인지 표시한다.
- 합의 법칙을 쓴다는 이유만으로 모든 항에 곱셈을 붙이지 않는다.
- 계산 뒤에는 가능한 대상의 수보다 결과가 지나치게 큰지 살핀다.
자주 묻는 질문
합의 법칙과 곱의 법칙을 함께 사용할 수 있나요?
가능하다. 먼저 경우를 나눈 뒤, 각 경우 내부에서 연속 선택이 있으면 그 부분에 곱셈을 적용하고 마지막에 경우의 수를 더한다.
선택 단계가 있는지 어떻게 판단하나요?
“무엇을 고른 뒤 반드시 또 고르는가?”를 문장으로 바꿔 읽으면 된다. 두 번째 대상이나 위치를 따로 정하지 않는다면 곱셈 단계가 아니다.
계산값이 크면 무조건 틀린 건가요?
그렇지는 않지만, 전체 대상의 범위보다 큰 값이 나오면 중복 계산이나 불필요한 곱셈을 먼저 의심해야 한다.
답만 맞으면 풀이 구분이 필요한가요?
숫자가 우연히 맞더라도 조건이 바뀌면 다시 틀릴 수 있다. 선택 단위를 표시하는 습관이 새로운 문제에 적용될 때까지 확인한다.