연지동 고3수학과외

항의 규칙보다 먼저 확인한 인덱스의 경계

연지동 생활권의 도서관에서 수능형 귀납적 수열 문제를 풀던 학생은 처음부터 점화식의 규칙을 전개하지 않았다. 문제의 조건에서 어떤 항부터 정의되는지, 항번호가 어디까지 허용되는지, 예외가 생기는 끝점이 있는지를 먼저 표시했다. 연지동과외 수업에서 자주 강조하던 방식처럼, 계산보다 결론을 바꾸는 경계를 먼저 찾는 접근이었다.

문제는 다음과 같았다.

수열 \(a_1=2\), \(a_{n+1}=a_n+2n\;(n\ge1)\)에 대하여 \(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)이라 하자. \(S_n\le 100\)을 만족하는 자연수 \(n\)의 최댓값을 구하여라.

학생은 먼저 \(a_n=n^2+1\)을 얻고 \(S_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6+n\)으로 정리했다. 그런데 해설을 거꾸로 확인하던 중, \(S_n\)의 일반식을 \(n=0\)까지 아무 검토 없이 적용한 흔적이 발견됐다. 실제 질문은 자연수 \(n\)에 대한 것이고, 점화식도 \(n\ge1\)에서만 시작한다. 최초의 어긋남은 복잡한 계산이 아니라 항번호의 범위를 일반식의 적용 범위와 같다고 처리한 것이었다.

오답의 출발점을 한 줄로 좁히다

학생은 틀린 풀이 전체를 다시 쓰지 않고, 오류가 시작된 줄만 표시했다. “\(n\)은 자연수”라는 조건과 “\(a_{n+1}\)은 \(n\ge1\)에서 정의”라는 조건을 식 옆에 나란히 적은 뒤, \(n=0\)을 후보에서 제외했다. 이어 \(a_1=2\), \(a_2=4\), \(a_3=8\)을 직접 대입해 일반식 \(a_n=n^2+1\)의 시작점이 \(n=1\)임을 확인했다.

그 다음에는 일반구간과 경계 후보를 분리했다. \(S_4=2+4+8+14=28\), \(S_5=55\), \(S_6=91\), \(S_7=140\)이므로 \(S_n\le100\)의 최댓값은 \(n=6\)이다. 여기서 중요한 교정은 계산법을 여러 개 추가한 것이 아니라, 정수 항번호를 오름차순으로 적고 조건 밖의 번호를 먼저 제거한 것이었다. 끝점인 \(n=6,7\)을 같은 표에 놓으니 \(n=6\)은 포함되고 \(n=7\)은 탈락한다는 사실도 분명해졌다.

조건의 위치를 바꾼 변형 문항

다음 날에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건의 위치를 바꾼 문항을 제시했다.

\(b_0=1,\; b_{n+1}=b_n+2n+1\;(n\ge0)\)일 때 \(T_n=b_0+b_1+\cdots+b_n\)이라 하자. \(T_n<50\)인 정수 \(n\)의 최댓값을 구하여라.

이번에는 첫 항의 번호가 0부터 시작하므로 이전 문제의 \(n=1\) 기준을 그대로 옮기면 안 된다. 학생은 먼저 \(b_n=(n+1)^2\)임을 확인하고, 합의 시작항이 \(b_0\)이라는 점을 따로 적었다. \(T_3=1+4+9+16=30\), \(T_4=55\)이므로 \(n=3\)에서 멈춘다. 특히 부등호가 \(<50\)으로 바뀌었기 때문에 경계값 50 자체를 포함할 수 없다는 점도 확인했다.

조건이 문제 앞부분이 아니라 마지막 문장에 놓인 서술형에서는 후보를 줄인 순서를 번호로 남겼다. ① 초기항의 번호, ② 점화식이 작동하는 \(n\)의 범위, ③ 합에 포함되는 마지막 항, ④ 부등호의 포함 여부 순서였다. 그래프 정보가 가려진 변형에서도 이 순서를 통해 항번호와 규칙을 혼동하지 않았다.

힌트 없이 다시 세운 판단

며칠 뒤 선택지가 없는 문제를 풀게 하자 학생은 교정 표시를 보지 않고 첫 줄에 “\(n\)의 시작값과 마지막 후보부터 확인”이라고 썼다. 특수값이 경계에 놓인 문제에서 다음 항 \(a_{n+1}\)과 초기항 \(a_1\)을 별도 줄에 기록했고, 일반식을 얻은 뒤에도 인덱스가 원래 조건과 맞는지 역으로 대조했다.

정답만 확인한 것이 아니라, 탈락한 다음 항의 번호가 왜 조건을 넘는지 설명하고, 포함된 끝점은 원래 부등식에 다시 대입했다. 처음의 실수였던 ‘일반 규칙을 경계까지 자동 적용하기’가 새 문제에서는 나타나지 않았으며, 항번호를 먼저 정하고 끝점과 내부 후보를 비교하는 판단이 독립적으로 유지되었다.