연지동 중1수학과외

곱셈 기호를 생략한 문자식에서 멈춘 한 줄

가야벽산아파트가 있는 생활권의 행사 안내문에는 “한 묶음에 사탕이 x개씩 들어 있고, 이런 묶음 3개와 낱개 5개가 있다”라고 적혀 있었다. 질문은 전체 사탕 수를 문자식으로 나타내는 것이었다.

학생은 종이에 3x+5라고 쓴 뒤, “3과 x 사이의 곱셈 기호는 생략할 수 있으니 3x로 썼다”고 설명했다. 여기까지의 판단은 맞았다. 그런데 다음 연습 문제에서 “가로가 xcm, 세로가 4cm인 직사각형의 넓이”를 나타내라는 문장을 보고 학생은 x4라고 적었다. 곱셈 기호를 생략한다는 규칙을 숫자와 문자의 모든 순서에 그대로 적용한 것이다.

규칙을 적용하기 전 경계를 표시하다

오답을 지우기보다 학생이 어떤 순간에 판단을 바꾸었는지 한 줄씩 되짚었다. 첫 문제의 3×x는 계수와 문자의 곱이므로 3x로 쓸 수 있다. 그러나 두 번째 식의 x×4는 문자가 먼저 나오고 숫자가 뒤에 놓인 경우다. 중1 문자식에서는 숫자를 문자 뒤에 붙여 x4로 쓰지 않고, 곱셈의 순서를 바꾸어 4x로 정리한다.

교정은 복잡하게 넓히지 않았다. 학생의 잘못된 판단인 “곱셈 기호는 숫자와 문자 사이면 언제나 생략한 뒤 그대로 붙인다”를 “숫자와 문자의 곱은 계수를 앞에 둔다”로 고쳤다. 그래서 학생은 두 식을 나란히 적었다.

• 3×x → 3x
• x×4 → 4×x → 4x

이때 괄호 안에 문자가 있는 경우와 숫자만 있는 경우도 구분했다. 2×(x+3)은 2와 괄호의 곱이므로 2(x+3)처럼 쓸 수 있지만, (x+3)2처럼 뒤에 숫자를 붙이지 않는다. 학생은 숫자와 문자의 위치, 괄호와 숫자의 위치를 각각 확인하면서 같은 규칙을 무리하게 복사하지 않게 되었다.

문장 대신 표와 식으로 바꾸어 확인하기

다음 활동에서는 숫자를 바꾼 단순 반복 대신 표현 방식을 바꾸었다. “한 상자에 연필이 x자루씩 들어 있고, 상자 5개와 낱개 2자루가 있다”는 문장을 표로 옮겼다.

• 상자 수: 5
• 상자 하나의 연필 수: x
• 낱개 연필 수: 2
• 전체: 5×x+2

학생은 표의 두 번째 줄과 첫 번째 줄을 읽어 5x+2를 만들었다. 이어 “가로가 xcm, 세로가 4cm인 직사각형의 넓이”라는 다른 형태의 문제를 보고, 그림에 표시된 두 길이를 x×4로 먼저 적은 뒤 4x로 정리했다. 이번에는 질문이 ‘전체 개수’에서 ‘넓이를 나타내는 식’으로 바뀌었지만, 숫자와 문자의 곱을 계수 앞자리로 정리한다는 판단은 그대로 유지했다.

괄호가 포함된 새 조건도 추가했다. “한 묶음에 x+2개가 들어 있는 물건 3묶음”을 식으로 나타낼 때 학생은 3(x+2)라고 썼다. 3x+2라고 쓰면 2가 한 번만 더해지므로 문장의 ‘한 묶음 전체가 3번’이라는 뜻과 달라진다고 설명했다. 곱셈 기호를 생략하는 것과 괄호 안의 항을 임의로 바꾸는 것은 다른 일임을 식의 모양으로 확인한 것이다.

힌트 없이 다시 만든 문자식

수업 후반에는 도움 없이 새 문장을 제시했다. “한 줄에 y명이 서 있고, 그런 줄이 6줄 있으며, 옆에 3명이 더 있다.” 학생은 먼저 y×6+3을 적고, 문자의 곱에서는 숫자를 앞에 둔다는 이유를 써서 6y+3으로 정리했다. 이어 “한 묶음의 수가 y+1이고 4묶음”이라는 문장에서는 4(y+1)을 선택했다.

마지막 검증에서 학생은 임의로 y=2를 대입했다. 첫 번째 식은 원래 문장대로 한 줄 2명씩 6줄과 추가 3명이므로 2×6+3=15가 되고, 정리한 식 6y+3도 6×2+3=15가 되었다. 두 번째 식은 한 묶음이 3개이고 4묶음이므로 4×3=12, 정리식 4(y+1)에도 2를 넣으면 4×3=12였다.

학생은 “곱셈 기호를 생략할 때는 숫자와 문자를 붙이는 것만 보지 않고, 계수를 앞에 놓을 수 있는지와 괄호 전체를 몇 번 곱하는지를 먼저 판단해야 한다”고 스스로 정리했다. 연지동중1수학과외에서 확인한 것은 정답 하나가 아니라, 문장·표·괄호식이 달라져도 같은 문자식의 작성 원칙을 다시 세우는 과정이었다.