양정동 중3수학과외

양정동 생활권에서 살펴본 넓이식의 전환

양정동과외 수업에서 학교 프린트의 한 문제를 함께 확인했습니다. 양동여자중학교가 포함된 생활권이나 부산광역시립부전도서관 인근 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 자주 만나는 유형이지만, 이번 글에서는 넓이 관계를 다항식의 곱셈으로 표현하고 다시 전개하는 과정 하나에만 집중했습니다. 양정동중3수학과외에서도 다른 개념으로 넓히지 않고, 문장에 나온 두 길이가 실제로 어떻게 곱해지는지만 확인했습니다.

프린트에 남은 첫 식

문제에는 “가로가 세로보다 2만큼 길고, 세로가 x+3일 때 직사각형의 넓이를 식으로 나타내라”고 적혀 있었습니다. 학생은 세로를 x+3, 가로를 (x+3)+2=x+5로 표시한 뒤 다음처럼 적었습니다.

넓이 = (x+3)(x+5) = x²+5x+3x+5 = x²+8x+5

앞의 두 줄에서는 두 변의 길이를 문장과 맞게 잘 옮겼고, x², 5x, 3x를 만드는 곱도 적었습니다. 계산이 끝난 결과만 보면 마지막 숫자가 틀렸지만, 수업에서는 결과보다 먼저 어디서 판단이 어긋났는지 되짚었습니다.

사각형을 네 부분으로 나누어 본 순간

학생이 처음 잘못 판단한 지점은 3과 5의 곱을 5로 적고도 다음 항으로 넘어간 것이었습니다. 즉, 전개할 때 마지막 상수항도 두 괄호의 수가 곱해져야 한다는 확인을 생략했습니다. 이 문제는 부호를 놓친 경우는 아니므로 부호를 새로 다루거나 다른 공식을 끌어오지 않았습니다.

교정은 한 행동만 바꾸었습니다. 괄호를 한 번에 계산하지 않고, 첫 번째 괄호의 각 항이 두 번째 괄호의 모든 항과 곱해지는 기록을 남겼습니다.

x(x+5)+3(x+5)
= x·x+x·5+3·x+3·5
= x²+5x+3x+15
= x²+8x+15

직사각형을 가로와 세로 선으로 나누어 생각하면 네 작은 넓이는 x², 5x, 3x, 15가 됩니다. 따라서 마지막 부분의 넓이는 반드시 3·5=15여야 합니다. 이미 맞게 적은 x²+5x+3x는 그대로 두고, 빠진 한 곱만 바로잡았습니다.

표현의 방향을 바꾼 새 문제

다음에는 숫자만 바꾼 식을 주지 않고 그림 설명의 순서를 바꾸었습니다. 전체 직사각형의 가로는 y-4, 세로는 y+2이고, 두 변이 만나는 모서리에서 생기는 넓이를 곱셈식으로 나타낸 뒤 전개하는 문제였습니다.

학생은 먼저 “가로의 두 항 각각을 세로의 두 항과 곱한다”는 기준을 말하고 다음처럼 적었습니다.

(y-4)(y+2)
= y·y+y·2+(-4)·y+(-4)·2
= y²+2y-4y-8
= y²-2y-8

이번에는 음수인 길이 항 -4를 별도의 항으로 표시하고, (-4)·2의 부호도 적었습니다. 앞 문제의 숫자나 배열을 외워 따라간 것이 아니라, “첫 괄호의 각 항이 둘째 괄호의 각 항과 한 번씩 곱해진다”는 같은 넓이 관계를 새로운 모양에 적용한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 기록

마지막에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 다음 상황만 제시했습니다. 한 직사각형의 두 변이 각각 2a+1, a-3으로 표시되어 있을 때 넓이를 전개식으로 나타내라는 문제였습니다. 학생은 곧바로 한 항씩 짝을 지어 적었습니다.

(2a+1)(a-3)
= 2a·a+2a·(-3)+1·a+1·(-3)
= 2a²-6a+a-3
= 2a²-5a-3

검산할 때는 정답을 보고 맞춘 것이 아니라 a=4를 스스로 대입했습니다. 곱셈식은 (2×4+1)(4-3)=9이고, 전개식은 2×4²-5×4-3=32-20-3=9였습니다. 두 표현에서 같은 값을 얻은 뒤 학생은 “각 항의 곱을 모두 적어야 하며, 음수 항도 그대로 곱해야 한다”고 설명했습니다. 새로운 식에서도 넓이를 나타내는 곱셈식과 전개식이 같은 값을 주는지 직접 확인하면서, 표현이 달라져도 같은 관계를 유지하는지 검증했습니다.