양정동 고1수학과외
양정동 고1수학과외, 매개변수 부등식의 부호를 그래프로 연결하기
학생은 매개변수가 포함된 부등식을 보자마자 식을 전개해 계산부터 줄이려 했다. 그 과정에서 음수인 중간식으로 나누면서 부등호 방향이 바뀌는 지점을 표시하지 않아 해의 범위를 반대로 적었다.
부호가 바뀌는 순간을 먼저 표시하다
풀이를 다시 시작할 때 계산칸에 들어가기 전, 나누거나 곱하는 중간식의 부호를 별도 기호로 표시하게 했다. 매개변수의 값에 따라 그 식이 양수인지 음수인지 달라질 수 있으므로, 하나의 방향으로 단정하지 않고 경우를 나누어 수직선에 경계값을 나타냈다.
부등호 방향은 계산량이 아니라 곱하거나 나누는 식의 부호에 따라 결정된다.
이 표시를 그래프의 어느 쪽 영역이 해에 해당하는지 판단하는 과정과 연결하자, 학생은 식의 변형만 따라가지 않고 각 경우의 해의 범위를 설명할 수 있게 됐다.
질문의 방향을 바꾼 적용
이번에는 부등식이 직접 주어지지 않고, 매개변수에 따라 해가 특정 구간에 놓인다는 조건이 제시된 문제를 풀었다. 학생은 먼저 경계가 되는 값을 찾은 뒤, 그 값을 기준으로 매개변수의 범위를 나누어 그래프의 해 영역과 대응시켰다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 ‘해를 구하는’ 방향에서 ‘해의 범위가 되도록 매개변수를 정하는’ 방향으로 바꾸어 적용한 것이다.
새로운 표현에서 확인한 것
마지막에는 좌표평면에 표시된 직선과 음영 영역만 보고 부등식의 해를 판별하게 했다. 식을 다시 전개하지 않고 경계선의 포함 여부와 음영 방향을 확인한 뒤, 각 경우에 부호 표시가 일관되는지 대조했다. 이를 통해 처음 보는 그래프에서도 경계값과 부등호 방향을 함께 검증하는 습관을 남겼다.