부암동 중3수학과외
부암동 생활권에서 찾은 넓이식의 첫 단추
부암동과외 수업에서 한 학생이 문장형 넓이 문제의 풀이를 가져왔습니다. 동평중학교가 포함된 생활권에서 접할 수 있는 중3 문제였지만, 핵심은 학교나 난도가 아니라 문장 속 관계를 정확히 곱셈식으로 옮기는 일이었습니다. 가야벽산아파트가 있는 생활권과 부산광역시립부전도서관 인근 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 자주 만나는 유형입니다.
계산보다 먼저 확인했어야 할 두 변
문제에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
가로가 x+3cm이고 세로가 2x-1cm인 직사각형의 넓이를 식으로 나타내어 전개하시오.
학생의 답안에는 다음 식이 먼저 쓰여 있었습니다.
(x+3)(2x-1)=2x²-2x+3x-3=2x²+x-3
전개와 동류항 정리는 맞았지만, 채점할 때 학생은 “가로와 세로를 곱하는 문제인데 바로 계산했다”고 말했습니다. 이 말에서 계산 전의 판단을 다시 살펴보니, 넓이를 만드는 두 변이 무엇인지, 각 변의 항이 모두 식에 들어갔는지를 표시하지 않은 채 전개를 시작한 것이 먼저 드러났습니다.
문장에 표시한 뒤 같은 계산을 다시 쓰기
이번에는 문장에서 ‘가로’와 ‘세로’를 각각 밑줄 긋고, 넓이는 두 길이의 곱이라는 근거를 한 줄로 남겼습니다.
- 가로: x+3
- 세로: 2x-1
- 넓이: 가로 × 세로
그다음 두 괄호를 항별로 펼쳐 적었습니다.
(x+3)(2x-1)
=x·2x+x·(-1)+3·2x+3·(-1)
=2x²-x+6x-3
=2x²+5x-3
학생의 첫 답에서 잘못된 부분은 전개 결과의 -2x였습니다. x에 -1을 곱한 항은 -x이고, 3에 2x를 곱한 항은 6x입니다. 여기서 모든 계산을 새로 바꾸기보다, 먼저 두 변과 네 항의 대응을 적는 행동만 추가했습니다. 그 결과 이미 알고 있던 동류항 정리는 그대로 활용하면서 누락과 부호 혼동을 막을 수 있었습니다.
모양이 달라진 넓이 문제에 적용하기
며칠 뒤에는 식의 순서와 부호가 달라진 문제를 제시했습니다.
한 직사각형의 가로는 4-ym, 세로는 y+2m이다. 넓이를 전개한 식으로 나타내시오.
이번에는 앞 문제와 같은 순서로 숫자만 바꾸지 않고, 먼저 길이를 식의 위치에 맞게 읽었습니다. 학생은 가로와 세로에 각각 표시한 뒤 다음과 같이 기록했습니다.
(4-y)(y+2)
=4·y+4·2+(-y)·y+(-y)·2
=4y+8-y²-2y
=-y²+2y+8
이번 식에서는 첫 번째 괄호의 두 번째 항이 -y이므로, 이를 그대로 곱해야 합니다. 학생은 양수인 4만 먼저 곱하고 끝내지 않고, 네 항을 모두 적은 뒤 같은 종류의 항인 4y와 -2y만 묶었습니다. 넓이라는 문장 관계를 식으로 옮기는 기준은 유지하면서, 부호가 괄호 안쪽에 있는 형태도 처리한 것입니다.
힌트 없이 대입으로 확인한 마지막 기록
마지막에는 풀이 기준이나 식을 미리 알려 주지 않고 다음 문제를 주었습니다.
가로가 z-5cm, 세로가 z+1cm인 직사각형의 넓이를 전개하고, z=7일 때 원래 곱셈식과 전개식의 값을 비교하시오.
학생은 먼저 “넓이는 두 길이를 곱하므로 (z-5)(z+1)”이라고 이유를 적었습니다. 이어서 항별 곱을 적어
(z-5)(z+1)=z²+z-5z-5=z²-4z-5
로 정리했습니다. 힌트 없이 z=7을 대입해 원래 식은 (7-5)(7+1)=2×8=16, 전개식은 49-28-5=16이라고 계산했습니다. 두 값이 같으므로 괄호의 두 변을 빠뜨리지 않고 전개했다는 근거도 설명했습니다. 부암동중3수학과외에서는 이처럼 정답만 확인하지 않고, 문장에서 두 변을 선택한 이유와 전개 전후의 값이 일치하는지까지 스스로 말하도록 확인합니다.