부암동 고등수학과외
부암동 고등수학과외에서는 경우의 수 문제를 풀 때 공식을 바로 고르기보다 조건 사이에 겹치는 대상이 있는지 먼저 살핀다. 부산외국어고등학교나 부산국제고등학교를 준비하는 학생도 시험지의 숫자보다 조건의 관계를 읽는 데서 자주 막힌다. 수업에서는 가야벽산아파트와 부산광역시립부전도서관처럼 익숙한 장소를 예로 들더라도, 실제 풀이에서는 장소 자체가 아니라 ‘동시에 해당할 수 있는가’를 판단하는 과정을 기록하게 한다.
조건을 읽자마자 후보를 확정한 순간
한 학생에게 1부터 8까지의 번호가 붙은 카드 중에서 짝수인 카드 또는 3의 배수인 카드를 고르는 문제를 제시했다. 학생은 짝수 4장, 3의 배수 2장이라고 적은 뒤 4+2=6이라고 결론 냈다. 풀이가 멈춘 지점은 계산이 아니라 후보를 세는 첫 단계였다. 6은 짝수이면서 3의 배수이므로 두 목록에 모두 들어가는데, 학생은 이 카드를 별개의 카드처럼 취급했다.
더 어려운 문제로 넘어가자 같은 실수가 선명해졌다. 1부터 12까지에서 2의 배수 또는 3의 배수를 고르는 상황에서 학생은 6개와 4개를 더해 10개라고 썼다. 조건 두 개를 보자마자 각각의 개수를 확정하고, 겹치는 부분을 표시하지 않은 탓에 경우의 수를 설명할 근거도 함께 사라졌다. 풀이 옆에는 ‘조건이 둘이면 먼저 중복 확인’이라는 짧은 메모만 남아 있었다.
공식보다 먼저 겹침을 표시하기
교정에서는 전체 문제를 처음부터 다시 풀게 하지 않았다. 두 조건을 원으로 그린 뒤 공통으로 들어가는 수를 찾아 표시하는 한 단계만 복원했다. 1부터 12까지의 2의 배수는 2, 4, 6, 8, 10, 12이고 3의 배수는 3, 6, 9, 12이다. 공통 원소는 6과 12이므로 6+4에서 그 두 개를 한 번씩 빼야 한다. 따라서 답은 8이다.
학생은 이후 정의역도 문제 옆에 적었다. ‘대상: 1 이상 12 이하의 정수’라고 써 두면 0이나 13을 무심코 포함할 가능성이 줄어든다. 조건을 합칠 때는 첫 번째 조건의 목록과 두 번째 조건의 목록을 나란히 만든 다음, 동일한 항을 지우고 남은 항만 세도록 했다. 이 훈련은 덧셈 원리를 외우는 것보다 학생이 중복의 위치를 직접 확인하게 한다.
조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기
다음에는 1부터 15까지의 정수 중 4의 배수 또는 5의 배수를 고르게 했다. 학생은 먼저 4, 8, 12, 15와 5, 10을 적었다가 스스로 15가 4의 배수가 아니라는 사실을 발견했다. 조건을 읽는 중간에 후보를 잘못 옮긴 것이다. 다시 4의 배수인 4, 8, 12와 5의 배수인 5, 10, 15를 구분해 적고, 공통 항이 없음을 확인했다. 이번에는 3+3=6이라고 답했다.
문항의 조건을 ‘4의 배수 또는 5의 배수’에서 ‘4의 배수이면서 5의 배수’로 바꾸자 답은 합집합 개수가 아니라 공통 부분의 개수가 된다. 1부터 15까지에서는 해당 수가 없으므로 0이다. 학생은 ‘또는’과 ‘그리고’를 같은 방식으로 세지 않고, 문제에 적힌 연결어에 따라 목록을 합칠지 겹치는 부분만 남길지 결정했다.
나열한 결과를 공식과 대조하는 마지막 확인
검산에서는 새 문제를 다시 반복하지 않고, 방금 얻은 목록을 포함배제 원리와 비교했다. 1부터 12까지의 경우에는 2의 배수 6개, 3의 배수 4개, 두 조건을 동시에 만족하는 수 2개이므로 6+4-2=8이다. 실제로 나열한 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12와 일치한다.
순열·조합 공식도 무조건 적용하지 않도록 구분했다. 서로 다른 8개 중 3개를 순서 없이 고르면 조합은 8C3이지만, 특정 조건을 만족하는 대상의 수를 세는 앞선 문제와는 출발점이 다르다. 학생은 항목 번호를 붙여 목록을 확인하고, 공식으로 계산한 값과 나열한 값이 일치하는지 대조했다. 값이 다르면 공식 계산보다 먼저 중복 표시와 정의역 메모를 다시 살피는 방식으로 마무리했다.
자주 묻는 질문
조건이 두 개면 항상 더한 뒤 빼나요?
두 조건을 동시에 만족하는 대상이 있을 때만 겹친 수를 한 번 빼야 한다. 공통 대상이 없다면 단순히 더할 수 있다.
‘또는’은 합집합인가요?
경우의 수에서는 보통 두 조건 중 하나 이상을 만족하는 대상을 뜻한다. 두 조건 모두를 뜻하는 ‘그리고’와 구별해 읽어야 한다.
목록을 꼭 직접 써야 하나요?
작은 범위에서는 목록이 중복을 찾는 데 효과적이다. 범위가 커지면 배수의 개수와 공통 배수의 개수를 공식으로 세되, 조건 관계는 먼저 확인한다.
조합 공식은 언제 사용하나요?
선택 순서를 고려하지 않고 정해진 대상 중 일부를 고르는 상황에서 사용한다. 조건을 만족하는 대상의 수를 먼저 구한 뒤 적용해야 한다.
검산할 때 무엇을 비교하나요?
직접 나열한 원소의 개수, 중복을 제거한 목록, 공식으로 얻은 값을 서로 대조한다. 셋 중 하나라도 다르면 조건 해석부터 다시 확인한다.