부암동 고3수학과외

귀납적 수열에서 항번호와 규칙을 분리해 읽은 사례

부암동 생활권에서 수능 수학을 준비하던 학생은 귀납적으로 정의된 수열의 역문제를 풀다가, 계산 자체는 빠른데 허용되지 않는 항까지 후보로 남기는 일이 반복되었다. 그래서 이번에는 풀이를 길게 다시 쓰기보다, 조건이 어느 줄에서 실제로 작동하는지 추적했다.

답에서 거꾸로 올라가며 드러난 한 줄

문제는 다음과 같았다.

수열 \(a_1=1\), \(a_{n+1}=a_n+2n\;(n\ge1)\)이 주어져 있다. \(a_n=21\)을 만족하는 자연수 \(n\)을 구하여라. 단, 이 문항에서 다루는 항은 \(n\ge2\)이다.

학생은 먼저 몇 항을 계산해 \(1,3,7,13,21,\ldots\)을 만들고 \(a_5=21\)을 얻었다. 여기까지는 맞았지만, 풀이 첫 줄에 \(n\ge2\)를 적지 않은 채 일반적인 식을 변형했다. 이후 다른 역문제에서 \(n=1\)이나 경계에 해당하는 후보가 생기자, 수열의 규칙으로 얻은 결과와 문제에서 허용한 항번호를 같은 조건처럼 처리했다. 최초의 어긋남은 계산 실수가 아니라 항번호 제한을 계산 뒤로 미룬 행동이었다.

오답을 거꾸로 확인하자 오류가 시작된 줄은 “\(a_n\)의 값을 만족하면 모두 후보”라고 판단한 부분이었다. 실제로는 재귀식의 규칙 \(a_{n+1}=a_n+2n\)과 별도로, \(n\)이 어떤 범위의 정수인지 먼저 남겨야 했다. 이 둘을 섞으면 규칙에 맞는 수를 찾고도 문항의 조건을 위반할 수 있다.

조건을 첫 줄에 고정한 뒤의 풀이

학생은 새 풀이에서 종이에 먼저 \(n\ge2,\ n\in\mathbb N\)을 적었다. 그 다음 항을 계산했다.

• \(a_1=1\)
• \(a_2=1+2=3\)
• \(a_3=3+4=7\)
• \(a_4=7+6=13\)
• \(a_5=13+8=21\)

따라서 \(a_n=21\)인 항번호는 \(n=5\)이다. 여기서 멈추지 않고 \(a_5\)를 원래 점화식에 다시 넣어 \(a_5+2\cdot5=21+10=31=a_6\)인지 확인했다. 교정은 전체 풀이를 처음부터 다시 외우는 방식이 아니었다. 제한조건을 첫 줄에 복원하고, 마지막 후보를 원래 규칙에 대입하는 두 행동만 추가했다.

일반항으로 정리하면 \(a_n=1+2(1+2+\cdots +(n-1))=1+n(n-1)\)이다. \(a_n=21\)에서 \(n(n-1)=20\), 즉 \(n=5\) 또는 \(n=-4\)가 나오지만, 자연수이면서 \(n\ge2\)라는 조건으로 \(n=5\)만 남는다. 학생은 이 과정에서 식이 주는 후보와 조건이 허용하는 후보를 구분해야 한다는 점을 확인했다.

표현 순서를 바꾼 독립 적용

다음 문제는 점화식이 먼저 나오지 않고 표가 먼저 제시되었다.

\(b_2=4\), \(b_{n+1}=b_n+3n\;(n\ge2)\)이고, \(n\)은 \(3\) 이상인 정수이다. \(b_n=25\)를 만족하는 \(n\)을 구하여라.

학생은 표의 첫 값만 보고 곧바로 항을 계산하지 않았다. 먼저 “\(n\ge3\)”과 “점화식은 \(n\ge2\)에서 적용”이라는 두 조건을 따로 표시했다. \(b_3=4+6=10\), \(b_4=10+9=19\), \(b_5=19+12=31\)이므로 25가 나오지 않는다. 이때 억지로 다음 항을 계속 계산하지 않고, 주어진 값과 규칙을 다시 대조했다.

표의 값이 \(b_2=4,\ b_3=10,\ b_4=19\)로 주어졌고 \(b_n=25\)가 아니라 \(b_n=19\)을 묻는 문제였다면 \(n=4\)가 된다. 학생은 질문의 값을 잘못 읽은 것이 아닌지 확인하기 위해 목표값과 항번호를 문제 옆에 다시 옮겨 적었다. 단순히 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 식과 표의 제시 순서가 달라져도 제한조건을 먼저 찾는지를 확인한 적용이었다.

힌트 없이 유지된 판단

마지막 검증에서는 다음 조건만 제시했다.

\(c_1=2,\ c_{n+1}=c_n+n+1\;(n\ge1)\), \(n\)은 \(4\) 이상인 정수이다. \(c_n=17\)을 만족하는 \(n\)을 판단하여라.

학생은 \(c_2=4,\ c_3=7,\ c_4=11,\ c_5=16,\ c_6=22\)를 계산한 뒤 17이 되는 항은 없다고 결론 내렸다. 이어 \(n=4\)를 경계값으로 직접 대입해 \(c_4=11\)임을 확인하고, \(n=3\)은 문제의 허용 범위 밖이라고 표시했다. 답을 맞히는 데서 끝나지 않고 “계산으로 생긴 후보가 있는가, 조건이 그 후보를 허용하는가, 원래 점화식에 대입해 일관적인가”를 순서대로 설명했다.

부암동과외 수업에서 확인한 변화는 계산량이 아니라 첫 표시의 위치였다. 새 표현과 다른 문항 순서에서도 학생은 항번호의 범위와 점화식의 적용 범위를 분리해 적었고, 경계값을 직접 시험한 뒤 후보를 원래 조건으로 되돌려 보냈다. 귀납적 수열의 조건 판독이 문제 모양에 따라 흔들리지 않는지까지 확인된 순간이었다.