개금동 고등수학과외

개금동 고등수학과외에서는 경우의 수와 확률 문제를 풀 때 계산 속도보다 먼저 ‘같은 대상을 두 번 세고 있는가’를 확인하는 연습을 진행합니다. 개금고등학교 학습 자료를 바탕으로 학생과 문제를 읽던 날, 학생은 답지의 숫자를 따라가기보다 조건의 순서를 표시하는 데서 첫 실수를 발견했습니다. 수업은 가야벽산아파트와 서면 생활권에서 접할 수 있는 도서관 좌석 배정처럼 구체적인 상황을 빌리되, 지역 정보보다 문제 속 판단 과정을 중심으로 이어졌습니다.

보조선처럼 먼저 그어 보는 조건 표시

경우의 수 문제에서 학생은 식부터 세우려는 습관이 있었습니다. 그래서 문제를 읽으면 여백에 짧은 한 줄을 먼저 적게 했습니다. ‘이 선택들은 동시에 가능한가, 아니면 하나를 고르면 다른 선택은 사라지는가?’라는 문장입니다. 이 문장은 기하 문제의 보조선처럼 계산을 대신하지 않지만, 무엇을 구분해야 하는지 보여 줍니다.

예를 들어 전체 경우를 같은 확률로 보고 사건 A가 일어나는 경우가 4개, 전체가 15개라면 P(A)=4/15입니다. 그러나 이 비율을 얻기 전에 4개의 경우가 서로 겹치는지 확인해야 합니다. 선택지가 ‘빨간 공을 뽑거나 파란 공을 뽑는 경우’처럼 동시에 일어날 수 없는 조건이라면 각 경우를 더해도 됩니다. 반대로 ‘짝수인 수를 고르거나 3의 배수를 고르는 경우’처럼 6처럼 두 조건을 함께 만족하는 대상이 있다면 겹치는 부분을 한 번 빼야 합니다.

첫 오답은 식이 아니라 밑줄에서 시작됐다

학생에게 상자 안에 1부터 6까지 적힌 카드가 있고, 카드 한 장을 뽑아 짝수 또는 3의 배수일 확률을 구하게 했습니다. 학생은 짝수 3개와 3의 배수 2개를 더해 5/6이라고 썼습니다. 처음 잘못된 순간은 덧셈을 한 줄이 아니라, 조건을 읽으며 ‘짝수’와 ‘3의 배수’에 밑줄을 각각 그은 뒤 6을 두 목록에 모두 넣은 때였습니다.

6은 짝수이면서 3의 배수이므로 두 번 세어졌습니다. 짝수는 {2, 4, 6}, 3의 배수는 {3, 6}이고, 합집합은 {2, 3, 4, 6} 네 개입니다. 따라서 확률은 4/6, 즉 2/3입니다. 학생은 틀린 식을 지우는 데 그치지 않고 ‘각 목록을 만든 뒤 겹치는 원소에 동그라미를 친다’는 절차로 다시 풀었습니다. 이어서 두 사건의 교집합을 먼저 찾고, 3+2-1처럼 계산하는 방식과 실제 원소를 나열하는 방식을 나란히 비교했습니다.

조건이 겹치는지 판단하지 않은 덧셈은 경우의 수 계산이 아니라 중복 기록일 수 있다.

조건의 순서를 바꾸어 혼자 확인하기

다음 문제에서는 카드 수와 조건을 바꾸었습니다. 1부터 10까지의 카드 중 홀수 또는 4의 배수를 고르게 하자 학생은 먼저 홀수 {1,3,5,7,9}를 적고, 4의 배수 {4,8}를 적었습니다. 이번에는 겹치는 카드가 없으므로 7/10이라고 답했습니다. 이어 조건의 순서를 ‘4의 배수 또는 홀수’로 바꾸었을 때도 같은 7개가 남는지 직접 배열했습니다. 순서만 바뀐 두 표현은 같은 사건이므로 결과도 같아야 한다는 점을 계산으로 확인한 것입니다.

마지막에는 ‘짝수 또는 5의 배수’로 조건을 바꿨습니다. 짝수 5개와 5의 배수 2개 중 10이 겹치므로 5+2-1=6, 확률은 3/5가 됩니다. 학생은 앞 문제의 7/10을 그대로 옮기지 않고 새 목록을 만들었습니다. 이렇게 수치만 바꾸는 연습을 넘어서 조건의 순서와 겹침 여부까지 바꾸면, 공식 암기인지 실제 판단인지 드러납니다.

최종 검산은 원래 조건으로 되돌아가는 방식으로

검산할 때는 다른 숫자를 다시 대입하지 않고 처음 문제의 조건으로 돌아갔습니다. ‘짝수 또는 5의 배수’에 포함되는 카드를 실제로 나열하면 {2,4,5,6,8,10} 여섯 개입니다. 10을 한 번만 기록했는지 확인한 뒤 전체 10개와 비교하니 6/10=3/5가 맞았습니다. 반대로 1처럼 어느 조건에도 속하지 않는 카드를 일부러 넣어 보아 포함시키면 안 된다는 반례도 확인했습니다.

자주 묻는 질문

경우를 더하기 전에 무엇을 확인하나요?

각 조건을 동시에 만족하는 대상이 있는지 목록으로 확인합니다.

겹치는 경우가 하나면 항상 한 번 빼나요?

두 목록만 합치는 상황에서 그 겹치는 대상을 두 번 센 경우에 한해 한 번 뺍니다. 목록의 수와 구조를 먼저 살펴야 합니다.

조건의 순서를 바꾸는 연습은 왜 하나요?

‘A 또는 B’와 ‘B 또는 A’가 같은 사건인지 실제 원소로 확인하며, 순서에 따라 대상을 빠뜨리거나 중복하는 실수를 찾을 수 있습니다.

확률을 구한 뒤 가장 간단한 검산은 무엇인가요?

포함된 대상을 직접 나열하고 전체 대상과 대조하는 방법입니다. 분자에 없는 대상이나 두 번 적힌 대상이 있는지 바로 확인할 수 있습니다.