개금동 중3수학과외
개금동 중3수학과외에서 확인한 전개식의 경계
개금동과외 수업에서 전개식을 틀린 이유를 찾기 위해, 학생이 오답노트에 남긴 계산 과정을 그대로 살펴보았습니다. 개림중학교와 광무여자중학교가 포함된 생활권, 가야벽산아파트와 부산광역시립부전도서관 인근에서 전개식을 연습할 때도 중요한 것은 계산 속도보다 각 항이 실제로 무엇과 곱해지는지 확인하고, 전개 전후에 값을 대입해 검산하는 것이었습니다.
식이 틀어지기 전, 첫 표시가 빠졌다
문제는 다음과 같았습니다.
식 3(x-2)-2(x+4)를 전개하고, x=1을 대입하여 결과를 확인하시오.
학생은 먼저 괄호 앞의 수를 보고 다음처럼 적었습니다.
3(x-2)-2(x+4)=3x-2-2x+4=x+2
그 뒤 x=1을 대입하여 3이라고 답했습니다. 그러나 원래 식에 직접 넣으면
3(1-2)-2(1+4)=-3-10=-13
이므로 두 결과가 일치하지 않습니다. 여기서 단순히 마지막 계산을 다시 하는 것만으로는 원인을 찾을 수 없습니다. 계산이 어긋난 최초 지점은 -2(x+4)의 두 항에 -2를 모두 곱하지 않은 것이었습니다. 학생은 x항에는 -2를 적용했지만, 뒤의 +4에는 부호만 반대로 바꾸어 +4로 남겼습니다.
한 항씩 곱한 뒤에만 동류항을 모으기
교정은 풀이 전체를 바꾸는 것이 아니라, 괄호를 없애기 직전의 한 행동만 고치는 방식으로 진행했습니다. 학생은 각 항의 곱을 줄을 나누어 기록했습니다.
- 3(x-2)에서 3×x=3x, 3×(-2)=-6
- -2(x+4)에서 (-2)×x=-2x, (-2)×4=-8
따라서
3(x-2)-2(x+4)=3x-6-2x-8=x-14
가 됩니다. 앞에서 맞게 계산했던 3x와 -2x는 그대로 두고, 빠졌던 항의 곱만 바로잡았습니다. 이제 x=1을 대입하면 전개한 식은 1-14=-13이고, 원래 식도 -13이므로 두 값이 같습니다.
이때 x=1이라는 값은 답을 대신 정하는 도구가 아니라, 전개 과정에서 항이나 부호를 빠뜨렸는지 확인하는 기준입니다. 특히 괄호 앞 계수가 음수일 때는 괄호 안의 모든 항에 같은 계수가 곱해지는지 먼저 살펴야 합니다.
모양이 달라진 식에서 기준을 다시 적용하다
다음 연습에서는 식의 순서와 조건의 위치를 바꾸었습니다.
x=-2일 때, 5-2(3x-1)+x의 전개식과 값을 구하시오.
이번에는 괄호 앞에 -2가 있고, 괄호 밖에 상수 5와 x가 따로 있습니다. 학생은 먼저
-2(3x-1)=(-2)×3x+(-2)×(-1)=-6x+2
라고 항별 곱을 적었습니다. 그러므로 전체 식은
5-6x+2+x=7-5x
입니다. 여기서 괄호 안의 -1에 음수를 곱했으므로 결과가 +2가 된다는 점을 확인했습니다. x=-2를 대입하면 전개식은 7-5(-2)=17입니다. 원래 식에 넣어도 5-2(3×(-2)-1)+(-2)=5-2(-7)-2=17이므로 전개 전후가 일치합니다.
힌트 없이 선택한 검산 기준
며칠 뒤에는 풀이 옆에 어떤 안내도 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.
t=3일 때 4(t+2)-3(2t-5)를 전개한 결과와 원래 식의 값을 비교하시오.
학생은 먼저 -3이 괄호 안의 2t와 -5 모두에 곱해져야 한다고 설명했습니다.
4(t+2)-3(2t-5)=4t+8-6t+15=-2t+23
그 다음 전개식에 t=3을 넣어 -6+23=17을 얻고, 원래 식에도 대입하여 4(5)-3(1)=20-3=17이라고 확인했습니다. 마지막에는 “괄호 앞 계수를 각 항에 빠짐없이 곱한 뒤, 같은 값을 양쪽 식에 넣어 결과가 같아야 전개가 맞다”고 풀이 근거를 스스로 정리했습니다. 개금동중3수학과외에서도 이처럼 식의 모양이 바뀌어도 항별 곱과 대입 검산이라는 한 기준을 끝까지 유지하도록 연습합니다.