덕진구 중2수학과외

대입 뒤 일차방정식을 정리하는 한 줄의 기준

덕진구의 신영통현대타운1단지와 송천지구가 이어지는 생활권, 전주온빛중학교가 포함된 주변에서 중2수학과외를 진행하며 한 학생의 식 계산 과정을 살폈다. 이번 장면의 중심은 문자를 먼저 없애는 대입 자체가 아니라, 대입한 뒤 남은 식에서 계수와 문자, 지수, 부호를 구분해 일차방정식으로 정확히 정리하는 일이었다.

식이 틀어지기 전, 학생이 고른 기준

학생은 연립된 식에서 y=2x-3을 골라 다른 식에 넣었다. 원래 식이 3x+y=12였으므로 공책에는 다음처럼 적었다.

3x+(2x-3)=12

대입 직후 학생은 괄호 안의 항을 살피며 3x, 2x, -3, 12에 각각 작은 표시를 했다. 이어 문자 부분과 숫자 부분을 나누어 보려고 했지만, 중간에 3x와 2x를 지수의 밑처럼 보고 x의 지수를 합치는 방식으로 처리하려 했다. 같은 밑을 가진 곱셈이 아닌데도 지수법칙을 적용한 것이 계산을 시작하기 전의 첫 판단이었다.

학생은 그 결과를 바로 계산하지 않고 잠시 멈췄다. 식에 x가 곱해져 있는 항과 숫자만 있는 항이 섞여 있다는 점은 표시했지만, 3x와 2x의 관계를 잘못 선택한 상태였다. 따라서 뒤의 정리 과정이 맞는지 검산하기도 어려워졌다.

바꾼 것은 계산법이 아니라 분류 기준 하나

교정에서는 이미 맞게 한 대입 과정과 괄호 표시는 그대로 두고, 잘못 고른 기준 하나만 바꾸었다. 학생에게 3x와 2x가 ‘같은 문자를 포함한 항’인지, ‘지수법칙을 적용하는 곱’인지 먼저 말하게 했다. 학생은 두 항 사이에 곱셈 기호가 따로 있는 것이 아니라 각각 계수와 문자의 곱으로 이루어졌다고 확인했다.

그래서 식을 다음처럼 두 줄로 다시 적었다.

3x+(2x-3)=12
3x+2x-3=12

이번에는 계수만 모아 3+2=5로 계산하고 문자 x는 그대로 두었다. 그 뒤 양변에 3을 더해 5x=15, 양변을 5로 나누어 x=3을 얻었다. 처음부터 다시 풀게 하지 않고, 대입과 괄호 전개는 유지한 채 ‘같은 문자 항의 계수끼리 계산한다’는 한 가지 판단만 바로잡은 것이다.

표현이 달라진 문제에서 기준을 다시 세우다

다음 문제는 식의 모양을 바꾸었다.

2(3a-1)-a=9

학생은 이번에는 괄호 앞의 2에 먼저 동그라미를 치고, 괄호 안의 각 항에 곱해야 한다고 설명했다. 2×3a=6a, 2×(-1)=-2로 나누어 적은 뒤, 식을 6a-2-a=9로 바꾸었다. 여기서 -a를 +a로 바꾸지 않도록 부호를 네모로 표시했고, 문자항을 모아 5a-2=9, 이어 5a=11로 정리했다. 이번 문제는 앞의 식에서 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 대입식이 아닌 괄호식에서 분배와 부호를 먼저 판단해야 하는 형태였다.

또 다른 확인에서는 식을 문장으로 바꾸어 제시했다. “어떤 수 a의 세 배에서 1을 뺀 값의 두 배에서 a를 뺀 결과가 9”라는 문장을 보고 학생은 먼저 2(3a-1)-a=9를 세웠다. 문장 속 ‘두 배’가 괄호 전체에 적용된다는 이유를 말한 뒤, 앞서 사용한 순서대로 계수와 문자 부분을 나누어 계산했다.

힌트 없이 남은 판단을 확인한 장면

수업 끝에는 도움 없이 새 식 4b-(2b+5)=13을 제시했다. 학생은 첫 줄에서 괄호 앞의 마이너스가 안쪽 두 항의 부호를 바꾼다고 적었다.

4b-2b-5=13
2b-5=13
2b=18
b=9

학생은 “4b와 -2b는 같은 문자항이라 계수 4와 -2를 계산했고, -5는 문자항에 합치지 않았다”고 풀이 이유를 설명했다. 검산할 때는 구한 b=9를 원래 식에 넣어 4×9-(2×9+5)=36-23=13이라고 확인했다. 마지막으로 대입했던 식에서는 잘못된 지수 판단을 하지 않았고, 괄호와 부호를 먼저 확인한 뒤 계수끼리 계산했다는 점까지 스스로 대조했다.

이처럼 덕진구중2수학과외에서 확인한 변화는 문제를 많이 푼 결과를 말하는 것이 아니라, 대입 뒤 식을 만났을 때 무엇을 먼저 같은 종류로 볼지 스스로 선택하고, 그 선택을 원래 식에 넣어 확인하는 과정에서 드러났다.