석남동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 첫 번째 갈림길

석남동의 경남아너스빌아파트와 금호어울림아파트가 있는 생활권에서 기출 오답을 다시 정리하던 학생은, 평소 풀이 시간의 절반만 주어진 상황을 먼저 연출했다. 문제를 끝까지 다시 풀기보다 자신의 첫 발상을 적은 메모와 정답 해설을 나란히 놓고, 결론에서 거꾸로 올라가 처음 판단이 달라진 줄을 표시했다. 뒤의 계산이 맞는지보다 어느 순간부터 다른 문제를 풀고 있었는지를 찾는 방식이었다. 이런 재구성은 석남동고3수학과외에서 오답의 정답 여부보다 최초 선택을 추적할 때 특히 유용하게 활용된다.

계산이 아니라 표본공간이 바뀐 순간

기출 문제는 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 적어도 하나가 빨간 공이라는 조건 아래 두 공이 모두 빨간 공일 확률을 묻는 내용이었다. 학생은 전체 경우를 먼저 세어 전체 10가지 중 빨간 공 2개를 고르는 3가지를 얻은 뒤, 답을 3/10으로 적었다. 조합 계산 자체는 틀리지 않았지만, 조건이 붙은 뒤에도 분모를 전체 경우로 유지한 것이 최초 오류였다.

해설의 정답은 1/3이었다. ‘적어도 하나가 빨간 공’인 경우에는 빨간 공이 하나도 없는 경우만 제외해야 하므로 가능한 쌍은 10-1=9가지다. 그중 두 개 모두 빨간 경우는 여전히 3가지이므로 조건부확률은 3/9=1/3이다. 학생은 처음에는 마지막 나눗셈에서 실수했다고 생각했지만, 정답에서 역으로 올라가 보니 계산이 진행되기 전에 이미 조건을 표본공간에 반영하지 않은 상태였다.

오답의 시작은 3을 잘못 센 것이 아니라, ‘조건이 주어진 뒤 무엇을 남길 것인가’를 정하지 않은 데 있었다.

한 줄만 바꾸어 풀이를 회복하다

교정 범위는 넓히지 않았다. 학생은 문제의 조건사건인 ‘적어도 하나가 빨간 공’을 첫 식 옆에 상자로 표시하고, 분모를 그 상자 안의 경우만 세도록 고쳤다. 이어 분자에는 조건을 만족하면서 동시에 두 공이 빨간 경우만 남겼다. 즉,

P(두 개 모두 빨강 | 적어도 하나 빨강)
= 3/9=1/3

처럼 조건사건을 먼저 쓴 뒤 계산하도록 순서를 바꾼 것이다. 해설을 가린 재풀이에서도 학생은 숫자를 세기 전에 “새로운 표본공간은 빨간 공이 하나도 없는 경우를 제외한 9가지”라고 설명했다. 뒤의 계산을 전부 다시 공부한 것이 아니라, 최초 개념 선택과 연결된 분모 판단 한 곳만 수정했는데도 결론이 회복되었다.

조건을 숨긴 변형에서 남은 판단

같은 주머니의 숫자만 바꾸지 않고, 표현과 조건의 위치를 바꾼 문제를 제시했다. 1부터 12까지의 자연수 중 서로 다른 두 수를 뽑을 때, 두 수의 합이 짝수라는 조건 아래 두 수가 모두 홀수일 확률을 구하는 문제였다. 이번에는 ‘조건부확률’이라는 말이 직접 드러나지 않도록 했다.

학생은 먼저 합이 짝수인 경우가 홀수-홀수 또는 짝수-짝수라는 구조를 분류했다. 홀수 6개에서 2개를 고르는 경우는 15가지, 짝수에서도 15가지이므로 조건을 만족하는 전체 경우는 30가지다. 그중 두 수가 모두 홀수인 경우는 15가지이므로 답은 15/30=1/2가 된다. 정수 후보를 오름차순으로 배열한 뒤 조건에 맞지 않는 홀수-짝수 조합을 제외했으며, 조건을 만족하는 경우를 전체 66가지로 두지 않았다. 앞 문제의 ‘빨간 공이 없는 경우 제거’와 모양은 다르지만, 조건 뒤에 남은 경우를 분모로 삼는 판단은 그대로 적용되었다.

오답 선택지가 함께 주어진 변형에서는 학생이 틀린 선택지를 곧바로 지우지 않고, 옆에 “홀수-짝수는 합이 홀수라 조건에서 제외”라고 이유를 남겼다. 첫 식의 근거도 “합이 짝수인 표본공간 안에서 다시 두 홀수를 고른다”라고 한 문장으로 설명했다. 이 기록 덕분에 단순히 답을 외워 맞힌 것이 아니라, 조건이 표본공간을 바꾼다는 원인을 재구성했는지 확인할 수 있었다.

힌트 없는 재풀이에서 드러난 변화

다음 날에는 표시와 유형명을 모두 지운 새 문제를 풀게 했다. 1부터 10까지의 수 중 두 수를 뽑을 때 두 수의 곱이 짝수라는 조건 아래 두 수 모두 짝수일 확률을 묻는 문제였다. 학생은 전체 45가지를 분모로 쓰지 않고, 곱이 홀수인 홀수-홀수 10가지를 먼저 제외하여 조건부 표본공간을 35가지로 만들었다. 두 수 모두 짝수인 경우는 5개 중 2개를 고르는 10가지이므로 답을 10/35=2/7로 정리했다.

마지막 검산에서도 전체 경우를 다시 계산하는 대신 위험했던 분모만 확인했다. “조건을 만족하는 경우 35가지 안에서 세고 있는가?”라고 스스로 묻고, 제외한 10가지가 실제로 조건에 어긋나는지도 역추적했다. 수치가 커지거나 조건의 문장이 달라져도 구조를 먼저 분류하고, 첫 식의 근거를 밝힌 뒤 후보를 제거하는 행동이 남아 있었다. 석남동고3수학과외에서 이 사례를 다룰 때도 오답 노트에는 정답보다 ‘처음 분모를 무엇으로 잡았는가’를 기록하게 한다.