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석남동 고2수학과외

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교점 개수부터 다시 세는 삼각방정식

학생은 마지막 문항에서 계산 없이 해의 개수를 판단해야 했지만, 식의 근 개수와 그래프의 교점 수를 연결하지 못했다. 이때는 y=sin xy=a의 교점부터 확인하면 된다.

한 주기에서 매개변수의 높이 보기

구간을 [0, 2π)로 정하면 y=sin x는 한 주기를 정확히 나타낸다.

조건교점 수
a>1 또는 a<-10개
a=1 또는 a=-11개
-1<a<12개

따라서 sin x=a의 해 개수는 먼저 a의 위치를 보고 결정한다. 계산보다 그래프의 교점 개수가 핵심이다.

주기가 늘어나면 해 개수도 확장된다

구간 길이와 반복 횟수

삼각함수의 주기는 2π이다. 예를 들어 [0, 6π)는 한 주기가 3번 반복되는 구간이다.

따라서 -1<a<1이면 한 주기에서 2개의 교점이 생기므로 전체 해의 개수는 2×3=6개이다. 단, 구간의 끝점을 포함하면 끝점에서 같은 해를 중복해서 세지 않도록 주의해야 한다.

예시: sin x=1/2

[0, 2π)에서 sin x=1/2의 해는 x=π/6, 5π/6으로 2개이다.

[0, 6π)에서는 이 두 해가 주기적으로 세 번 반복되므로 해의 개수는 6개이다.

독립 적용

다음 문항은 실제 해를 구하지 않고 개수만 판단한다.

문제: 실수 x가 [0, 8π)에서 움직일 때, 방정식 sin x=a의 해의 개수를 a에 따라 판단하여라.

  • a>1 또는 a<-1: 0개
  • a=1 또는 a=-1: 4개
  • -1<a<1: 8개

[0, 8π)에는 2π의 주기가 4번 들어 있다. 그러므로 한 주기의 교점 수에 4를 곱하면 된다.

이처럼 그래프의 교점 수를 먼저 정하고, 주기 반복 횟수로 확장하면 석남동과외에서 다루는 삼각방정식의 해 개수 문제도 계산 없이 안정적으로 판단할 수 있다.

석남동 고2수학과외 학부모 후기

모의고사 오답을 다시 펼쳐 보던 날, 아이가 문제 전체를 또 적지 않고 노트 한쪽에 다시 확인할 계산 한 줄과 그 이유만 짧게 적어 두었어요. 필요한 부분만 접어 두고 책상에서 일어나는 모습도 보였고요. 예예전에는 한 번 풀고 나면 질문할 내용이나 나중에 살필 곳을 따로 남기는 일이 없었습니다. 기말고사 다음 주말에 다음 일정을 정리하다가 수학 노트를 우연히 봤는데, 거기에도 ‘여기서부터 다시’라고 표시한 뒤 계산 한 줄만 남아 있더라고요. 석남동 수학과외라는 말을 계기로 수학 공부를 살펴보게 됐지만, 제가 눈여겨본 건 거창한 풀이가 아니라 어디를 다시 볼지 스스로 좁혀 둔 그 흔적이었어요. 문제 전체 대신 필요한 한 줄과 이유만 남겨 둔 노트가 전과는 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전에 책상 주변을 정리하다가 아이 문제집을 잠깐 보게 됐어요. 어려운 문제 옆에 별표가 있을 줄 알았는데, 계산 줄 번호가 적혀 있더라고요. 어디를 다시 봐야 하는지 숫자로 남겨 둔 모습이 낯설었어요. 석남동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 따로 생각하지 못했거든요. 예전에는 맞았는지 틀렸는지만 확인하고 자료를 다시 펼쳐 보는 일이 거의 없었어요. 그런데 이번에는 문제 전체에 표시하기보다 확인할 계산 줄만 골라 적어 두었더라고요. 다른 문제를 꺼내 놓았을 때도 같은 식으로 다시 볼 계산 줄 번호를 남겼고, 확인할 부분만 표시한 채 공부를 마쳤어요. ━

★★★★★학부모 후기

석남동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 어려운 문제만 붙잡지 않고 쉬운 문제부터 차분히 풀기 시작했습니다. 선생님은 정한 공부량을 지키도록 도와주고, 질문을 망설일 때도 수업 중간에 자연스럽게 확인해 주셨습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때 스스로 앞부분을 다시 복습하는 모습이 보여 꾸준한 변화가 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기

학교 일정이 바뀌어 귀가가 늦어진 날에도 석남동 수학과외 선생님은 아이의 컨디션을 먼저 살피며 수업량을 조절해 주셨습니다. 단순히 결과만 알려주지 않고 수업 태도와 그날 할 일, 다음에 복습할 내용을 나눠 설명해 주셔서 안심됐습니다. 요즘은 숙제 양에 겁먹기보다 질문할 문제를 먼저 표시해 두는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★★학부모 후기

석남동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 수업 중 이해했다고 얼버무리지 않고 모르는 부분을 조심스럽게 말하기 시작했습니다. 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 수업량을 조절하고, 오답 공책을 함께 보며 맞힌 문제도 설명해보게 했습니다. 어려운 문제를 예전처럼 피하지 않는 모습이 성적보다 먼저 눈에 들어와 만족스러웠습니다.

★★★★★학부모 후기