석남동 고2수학과외







교점 개수부터 다시 세는 삼각방정식
학생은 마지막 문항에서 계산 없이 해의 개수를 판단해야 했지만, 식의 근 개수와 그래프의 교점 수를 연결하지 못했다. 이때는 y=sin x와 y=a의 교점부터 확인하면 된다.
한 주기에서 매개변수의 높이 보기
구간을 [0, 2π)로 정하면 y=sin x는 한 주기를 정확히 나타낸다.
| 조건 | 교점 수 |
|---|---|
| a>1 또는 a<-1 | 0개 |
| a=1 또는 a=-1 | 1개 |
| -1<a<1 | 2개 |
따라서 sin x=a의 해 개수는 먼저 a의 위치를 보고 결정한다. 계산보다 그래프의 교점 개수가 핵심이다.
주기가 늘어나면 해 개수도 확장된다
구간 길이와 반복 횟수
삼각함수의 주기는 2π이다. 예를 들어 [0, 6π)는 한 주기가 3번 반복되는 구간이다.
따라서 -1<a<1이면 한 주기에서 2개의 교점이 생기므로 전체 해의 개수는 2×3=6개이다. 단, 구간의 끝점을 포함하면 끝점에서 같은 해를 중복해서 세지 않도록 주의해야 한다.
예시: sin x=1/2
[0, 2π)에서 sin x=1/2의 해는 x=π/6, 5π/6으로 2개이다.
[0, 6π)에서는 이 두 해가 주기적으로 세 번 반복되므로 해의 개수는 6개이다.
독립 적용
다음 문항은 실제 해를 구하지 않고 개수만 판단한다.
문제: 실수 x가 [0, 8π)에서 움직일 때, 방정식 sin x=a의 해의 개수를 a에 따라 판단하여라.
- a>1 또는 a<-1: 0개
- a=1 또는 a=-1: 4개
- -1<a<1: 8개
[0, 8π)에는 2π의 주기가 4번 들어 있다. 그러므로 한 주기의 교점 수에 4를 곱하면 된다.
이처럼 그래프의 교점 수를 먼저 정하고, 주기 반복 횟수로 확장하면 석남동과외에서 다루는 삼각방정식의 해 개수 문제도 계산 없이 안정적으로 판단할 수 있다.