지족동 중등수학과외

지족동중등수학과외, 닮음비 3:6에서 11의 대응변이 22인지 방향까지 확인하기

닮은 두 삼각형에서 작은 삼각형의 한 대응변이 3, 큰 삼각형의 대응변이 6이고, 작은 삼각형의 다른 변 11에 대응하는 큰 삼각형의 길이를 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 22입니다. 다만 답을 맞혔더라도 11×2를 한 이유, 즉 비례식의 분자와 분모가 각각 어느 삼각형의 길이인지 설명할 수 있어야 닮음비를 다른 문제에도 안정적으로 사용할 수 있습니다. 지족동중등수학과외에서는 계산 결과와 함께 대응변의 기준 방향을 확인하는 과정을 중요하게 다룹니다.

작은 삼각형과 큰 삼각형을 같은 순서로 놓기

3과 6은 서로 대응하는 변이므로 작은 삼각형 : 큰 삼각형의 닮음비는 3:6=1:2입니다. 구하려는 길이를 x라 하면 3/6=11/x 또는 11/x=3/6으로 쓸 수 있습니다. 양변을 교차곱하면 3x=6×11=66, 따라서 x=22입니다. 여기서 핵심은 3과 11을 작은 삼각형의 길이로, 6과 x를 큰 삼각형의 길이로 묶었다는 점입니다. ‘분자의 길이는 모두 같은 삼각형에서 골랐나요?’라는 질문은 단순한 형식 확인이 아닙니다. 3/6의 분자 3이 작은 삼각형이라면 11/x의 분자 11도 작은 삼각형이어야 두 분수가 같은 방향의 비를 나타냅니다.

대응 꼭짓점의 순서를 먼저 정하고, 대응변을 표의 같은 줄에 적으면 이 관계가 더 분명해집니다. 첫 줄에는 작은 3, 큰 6을 적고 둘째 줄에는 작은 11, 큰 x를 적습니다. 이렇게 표시하면 11에 2를 곱해야 큰 삼각형의 길이가 된다는 이유가 드러납니다. 반대로 11÷2를 하면 작은 쪽보다 더 작은 값이 되어, ‘큰 삼각형의 대응변’을 구한다는 조건과 맞지 않습니다.

맞힌 22를 식으로 다시 검증하는 방법

정답 근거 확인에서는 22를 다시 말하는 데서 멈추지 않고 원래 비에 대입합니다. 3/6과 11/22를 비교하면 각각 1/2이므로 두 대응변의 비가 같습니다. 또는 큰 삼각형 : 작은 삼각형으로 방향을 바꾸어 6/3=22/11=2로 확인할 수도 있습니다. 식의 순서를 바꾸는 일 자체는 문제가 되지 않습니다. 한 식 안에서 6과 22를 큰 삼각형의 길이로, 3과 11을 작은 삼각형의 길이로 일관되게 두었기 때문에 같은 결론이 나옵니다.

만약 3/6=22/11처럼 한쪽은 작은/큰, 다른 쪽은 큰/작은로 섞으면 1/2와 2가 되어 같지 않습니다. 이처럼 계산 절차를 외웠는지, 또는 대응변과 기준 방향을 연결했는지는 한 번의 짧은 답만으로 단정할 수 없습니다. 말로 길게 설명하기 어렵다면 화살표, 대응변 표, 비례식의 위아래 표시로 같은 관계를 보여 주어도 됩니다.

순서를 뒤집은 비교 문제에서 같은 길이가 나오는 이유

비교 과제에서는 큰 삼각형을 먼저 써서 닮음비를 큰 : 작은=6:3=2:1로 세웁니다. 이때 비례식은 6/3=x/11로 둘 수 있고, 교차곱하면 6×11=3x, 즉 x=22입니다. 기본 문제와 비교하면 닮음비의 표기는 1:2에서 2:1로 바뀌지만, 구하는 대상은 여전히 큰 삼각형의 대응변입니다. 따라서 11에서 큰 쪽으로 갈 때 2를 곱한다는 관계는 유지되어 길이 22도 같습니다.

다음에는 정답을 가린 뒤 작은 것 : 큰 것과 큰 것 : 작은 것을 각각 적어 보고, 각 식의 위아래가 같은 삼각형의 길이인지 표시해 보게 합니다. 이어서 큰 삼각형을 먼저 쓴 비례식에서도 22를 구한 뒤 6/3=22/11인지 대입해 확인합니다. 두 방향의 식에서 대응변을 섞지 않고, 왜 같은 길이가 나오는지 식이나 표시로 제시할 수 있는지를 기준으로 다음 설명을 이어가면 됩니다.