원신흥동 중2수학과외
소수식의 부등호 방향을 끝까지 추적한 수업
원신흥동 생활권의 대전원신흥중학교가 포함된 학습 사례에서 학생은 소수가 섞인 일차부등식을 풀 때 계산 자체보다 어떤 수를 곱하거나 나누었는지를 놓치는 장면을 보였다. 원신흥도서관 인근 생활권에서 진행된 원신흥동과외에서도 같은 유형을 식, 표, 수직선으로 바꾸어 확인했다.
식보다 먼저 바뀐 한 줄
문제는 다음과 같았다.
0.4x-1.2 > 0.8
학생은 소수를 없애려고 양변에 10을 곱하는 대신, 먼저 식을 간단히 보겠다며 양변을 -10으로 곱했다. 공책에는 다음처럼 적혀 있었다.
-4x+12 > -8
학생은 0.4, 1.2, 0.8에 10을 곱한 뒤 다시 부호를 바꾼 계산은 정확히 했다. 그러나 음수를 곱했는데도 부등호를 그대로 둔 것이 첫 번째 잘못된 판단이었다. 그 결과 양변을 4로 나누어 x-3 > -2, 즉 x > 1이라고 결론 내렸다. 계산 결과가 틀어진 뒤가 아니라, -10을 선택한 순간 이미 부등식의 방향을 다시 판단했어야 했다.
이미 맞았던 계산은 두고, 연산의 성질만 고치기
교정할 때 소수를 없애려는 생각 자체를 바꾸지 않았다. 다만 양변에 적용한 연산과 부등호 변화를 한 줄씩 나란히 쓰게 했다.
- 소수를 없애기 위해 양변에 10을 곱한다.
- 10은 양수이므로 부등호 방향을 유지한다.
- 4x-12 > 8에서 양변에 4를 더해 4x > 20을 만든다.
- 양변을 양수 4로 나누므로 x > 5가 된다.
학생은 같은 문제를 -10으로 처리하고 싶다면 부등호가 반대로 바뀌어야 한다는 것도 다시 적었다.
-4x+12 < -8 → -4x < -20 → x > 5
여기서 중요한 것은 양변에 같은 연산을 했다는 사실만 적는 것이 아니었다. 그 연산이 양수인지 음수인지 표시하고, 나눌 때도 그 부호를 다시 확인하는 것이었다. 학생은 각 줄 오른쪽에 ‘양수 유지’, ‘음수라 방향 반대’라고 짧게 표시했다.
식이 아닌 표와 수직선으로 바꿔 보기
다음 활동에서는 숫자만 바꾼 문제를 주지 않고 표현을 바꾸었다. 표에는 x의 값과 0.4x-1.2의 값이 제시되었고, 값이 0.8보다 큰 x의 범위를 찾게 했다.
- x=1이면 0.4-1.2=-0.8
- x=5이면 2-1.2=0.8
- x=6이면 2.4-1.2=1.2
학생은 표에서 x=5일 때는 경계값이라 포함되지 않고, x=6부터 조건을 만족한다고 표시했다. 이어서 수직선에 5를 빈 점으로 찍고 오른쪽으로 선을 그렸다. 식으로 얻은 x>5와 표에서 확인한 범위가 일치하는지 살핀 것이다.
이번에는 다음처럼 부호와 질문 방향을 바꾼 표현도 제시했다.
-0.6x+1.8 ≤ 0
학생은 먼저 양변에 10을 곱해 -6x+18≤0으로 바꾼 뒤, 18을 빼서 -6x≤-18을 만들었다. 여기서 양변을 -6으로 나누는 순간 부등호를 뒤집어 x≥3이라고 적었다. 수직선에서는 3에 찬 점을 찍고 오른쪽을 표시했다. 계수가 음수인 식에서는 값이 커지는 방향과 x의 방향이 반대가 된다는 점도 표의 x=2, x=3, x=4 값을 대입해 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 첫 판단
수업 끝의 독립 문제는 다음과 같았다.
1.25-0.5x < -0.75
학생은 문제를 읽자마자 공책 첫 줄에 “소수를 없애려면 100을 곱하고, 양수이므로 방향은 유지”라고 썼다.
125-50x < -75
200-50x < 0
-50x < -200
x > 4
학생은 답만 적지 않고, “마지막에 -50으로 나누었으므로 부등호를 반대로 바꿨다”고 설명했다. 이어 x=5를 대입하면 1.25-2.5=-1.25가 -0.75보다 작아 조건을 만족하고, x=3을 넣으면 -0.25라서 만족하지 않는다고 검산했다. 수직선에도 4를 빈 점으로 표시하고 오른쪽을 칠해 식의 결과와 대입 검산이 같은 범위를 가리키는지 확인했다.
이처럼 원신흥동중2수학과외에서는 소수 제거를 단순한 계산 규칙으로 외우지 않고, 양변에 적용한 수의 부호와 부등호 방향을 식·표·수직선에서 서로 대응시켜 확인한다. 처음의 실수는 -10을 곱하고도 방향을 유지한 판단이었지만, 마지막에는 새로운 식에서 연산의 부호를 먼저 정하고 그 이유와 검산 근거까지 학생 스스로 말할 수 있었다.