원신흥동 고2수학과외

점근선이 답에 섞인 순간

대전도안고등학교 학생의 풀이 기록에는 다음 답이 적혀 있었다.

문제: \(0\le x<2\pi\)에서 \(\tan x>1\)을 만족하는 \(x\)의 범위를 구하여라.

학생 답: \(\dfrac{\pi}{4}

끝점에 등호를 넣은 것이 오류다. \(\tan x\)는 \(x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\)에서 정의되지 않으므로, 이 각들은 처음부터 해에서 제외해야 한다. 원신흥동과외에서 이 유형을 다룰 때도 계산보다 정의역 확인을 먼저 점검한다.

구간을 나누는 기준은 점근선

탄젠트의 점근선은

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \]

이므로 주어진 범위에서는 \(x=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\)를 제외한다. 점근선 사이에서 \(\tan x\)는 증가한다.

\(\tan x=1\)이 되는 기준각은 \(\dfrac{\pi}{4}\)이고, 주기성을 이용하면 해당 기준점은 \(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\)이다. 따라서

\[ \boxed{x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)} \]

수평이동된 식에서 달라지는 것

이번에는 \(\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\le -1\)을 생각해 보자. 탄젠트의 점근선이 그대로라고 보면 안 된다.

\[ x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2\pi}{3}+k\pi \]

즉, 수평이동에 따라 점근선도 함께 이동한다. \(0\le x<2\pi\)에서는 \(x=\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\)를 제외해야 한다.

새 점근선 사이에서 해를 선택하기

\(\tan u\le-1\)의 해는 한 주기에서 \(\dfrac{\pi}{2}

\[ \frac{2\pi}{3}

주기 \( \pi \)를 더한 구간까지 포함하면

\[ \boxed{x\in\left(\frac{2\pi}{3},\frac{11\pi}{12}\right] \cup \left(\frac{5\pi}{3},\frac{23\pi}{12}\right]} \]

두 번째 구간의 오른쪽 끝 \(\dfrac{23\pi}{12}\)는 \(2\pi\)보다 작으므로 포함된다. 반면 점근선 \( \dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\)는 정의되지 않아 열린 끝점이다.

최종 검산

첫 문제의 답에 \(x=\dfrac{\pi}{2}\)를 대입하면 \(\tan x\) 자체가 정의되지 않는다. 따라서 부등식의 해가 될 수 없다. 마찬가지로 수평이동 문제에서도 점근선은 부등호 방향과 관계없이 반드시 제외한다.

탄젠트 부등식은 점근선 확인 → 기준각 계산 → 증가 구간 선택 → 정의역 검산의 순서로 판단하면 경계값을 잘못 포함하는 실수를 줄일 수 있다.